Страница 28 из 233
Укажем это, сделав это замечание, на определение действий над группами, мощностями и типами порядка.
Если имеем две группы Μ и N без общего элемента, то соединение их (Vereinigungsmcnge)[268] мы, как сказано, обозначаем знаком (Μ, N). Пусть Μ = и, N = b. Тогда знаком, картиной‚ и+b, согласно Кантору, обозначается мощность группы (Μ, Ν), так что
и + b = Μ + Ν = (Μ,Ν) (1)
Разумеется, «складывать» или «прикладывать» понятия, идеальные схемы, каковыми являются мощности, нельзя; под суммою мощностей совершенно условно мы разумеем некоторое третье понятие, прежние в себе ни в каком смысле не содержащее, а только связанное с ними нашим условием и некоторыми своими признаками. Необходимо, однако, показать законность нашего определения (1), т. е. показать, что символ (и+b) всегда имеет смысл и что он есть нечто определенное. Но это ясно, так как (Μ, Ν) есть группа, если только Μ и N — группы; раз так, то всегда можно отвлечься от порядка, взаимоотношений и природы элементов ее и получить ее мощность, которая обозначена через ц+b. Кроме того ц+ b зависит только от ц и b; в самом деле, и и b одинаковы для всех групп, равномощных с Μ и N. Поэтому, если в (Μ, Ν) мы заменим Μ и N через M'wM, ‚ Ν' со Ν, то получим (Μ, Ν)<(Μ\ Ν') и, следовательно, и+b не изменится. Из определения (1) ясно, что
и +b = b+и (2),
потому что b+и получится, как (N, М), но так как от порядка элементов для образования мощности мы отвлекаемся, то ясно, что (Μ, N) = (N, М). Но, кроме переместительности, сложение мощности еще и сочетательно, так что (это легко доказать)
и+ (b+ с) = (и + b) + с (3)
Если мы имеем трансфинитную группу с мощностью и и присоединим к ней группу с конечной мощностью, которую обозначим через ν {ν — не сама конечная группа, а ее тип), то получим группу равномощную с М. Следовательно, на основании сказанного, получаем такие равенства, на первый взгляд парадоксальные:
и+1 = 1 + и = и↘
(4)
и+ѵ = ѵ + и = и ↗
Далее Кантор дает определение неравенства мощностей и устанавливает, когда их считать больше некоторой другой, когда — меньше[269] [270]. Отсюда вытекает, что наименьшей из всех трансфинитных мощностей является мощность счетовых групп. В трансфинитной алгебре она играет основную роль и обозначается еврейской буквой алеф со значком нуль[271], Ν0. Это число удовлетворяет, например, таким равенствам:
Νо+1 = N + ν = N
νо + Νо = Νо (5)
Νо + Νо Νо + Νо = Νо
Переходим теперь к перемножению мощностей. — Под группой связи (Μ. N) (Vcrbindungmcngc)[272] Кантор разумеет ту группу, которая получится, если каждый элемент ш группы Μ мы связываем с каждым элементом π группы N и, принимая за элемент эту связь какой- нибудь пары элементов (ш, п), образуем из них группу. Итак,
{Μ.Ν} = {(m n)}; (6)
мощность полученной группы Кантор называет произведением мощностей и и b, так что
u*b = M. N={M. N}; (7)
на основании этого определения доказывается переместительность умножения, его сочетательность и распределительность относительно сложения, так что иЉ = Ъ. и (8)
и.(b. с) = (ц. b). с (9)
u.(b + c) = u. b+u. c (Ю) Подобным же образом доказывается, что и. V = Ѵ. И = 11 (11) и т. п.
В частности,
N0. p — β Ν0 ' Ν0·Ν0 = Ν0
Ν0.Ν0.Ν0…Ν0 =Ν0<
Последнее действие, которое надо еще установить, есть действие возвышения в степень, потенцирования. — Возьмем группы Μ и N. Каждому элементу π группы N мы можем сделать соответственным какой‑либо из элементов группы М, причем один и тот же элемент ш может быть взят сколько угодно раз. Таким образом, получается некоторый закон подчинения или приложение (Belegung) группы N к группе М. Если хотя бы один из элементов N получит другой, соответственный ему, элемент т, то мы имеем другое приложение N с М. Совокупность всех таких приложений, объединенная в целое, носит у Кантора, название группы приложения (Belegungsmenge)[273] N с Μ и обозначается знаком (Ν|Μ). Ее‑то мощность и есть то, что играет роль степени в излагаемой теории, так что
RSi4N]M> (13)
Как и в случае умножения, это определение оправдывается тем, что пь зависит только от и и b. Из формулы (13) вытекают свойства этого действия:
(14)
и\b = (иЉУ (иьу = и"
Можно доказать, что какая угодно мощностыц, возвышенная в степень самое себя, дает результат непременно больший, чем она сама:
mw › hi
Отсюда уже ясно, что построение все больших И больших мощностей никогда не может остановиться и все глубже и глубже заходит в область трансфинитного, устремляясь к абсолютному максимуму по лестнице
W ш1 Ш ttl III
III, lit, III, llt; и т. Д.
Но Кантор дает еще другой способ построения скалы бесконечных чисел. Чтобы раскрыть его, нам придется сказать несколько слов о трансфинитных типах, именно о типах просто–устроенных групп.
Под просто–устроенной (einfachgeordnct)[274] группой Кантор, как сказано, разумеет группу такую, что, руководствуясь одним каким‑нибудь признаком, всегда можно решить, который из двух элементов т' и т" предшествует другому. Отвлечением от природы элементов мы получаем схему устройства этой группы, закон ее расположения. Но так как в эту схему, в этот «тип порядка»[275] свойства и особенности элементов не войдут, то ясно, что некоторые перестановки элементов не изменят его, а другие, наоборот, изменят. Первые, так сказать, обменивают местами элементы равноправные, вторые же затрагивают структуру ряда. Это станет яснее, если мы возьмем в виде примера ряд натуральных чисел, тип которого обозначается через ω. Доказывается, хотя это почти что ясно само собою, что ряд
1, 2, 3, 4, 5…Ѵ,
не имеет последнего члена. Положим, что мы переставили элементы его, так что ряд получил вид:
Тогда тип порядка его, структура его не изменилась. Но если мы переставим элементы каким‑нибудь таким образом:…7, 6, 5, 4, 3, 2, 1; или 1, 3, 5, 7, 9…2, 4, 6, 8, 10… или 1, 3, 5, 7…8, 6, 4, 2, то тогда схема изменяется.
Пользуясь сказанным определением типов порядка и еще другими, Кантор расширяет на эти типы действия алгебры; оказывается при этом, что, впрочем, не трудно было предвидеть, что умножение и сложение, оставаясь распределительными, перестают быть перемести- тельны, так что [вообще говоря]
α + β φ β + α α.β*β.(χ[276]
Например,
2,ω = ω, но ω.2 = ω + ω, почему…2.ω * ω.2.
Среди типов порядка играют роль особенно важную, так называемые, «числа порядка» (Ordnungszahlen)[277], это — типы некоторых специальных групп, именно, групп «благоустроенных» (wohlgeordnet)[278]. Последние группы таковы, что сами они, как и каждая их частная группа, имеют первый элемент. Путем очень тонких соображений Кантор показывает, что числа порядка обладают характером величин, т. е. каждая пара таких чисел либо равна, либо одно из них больше другого. Вследствие этого оказывается возможным расположить все такие числа по одной скале и, пользуясь «производящими принципами», указанными Кантором и позволяющими продолжать ее как угодно далеко, охватить всякое множество. Ввиду того, что наименьшее из чисел порядка есть число ω, является интересным строить эту скӑлу, исходя из ω, и это нужно сделать хотя бы так:
1, 2, 3… і›…
ω, ω + 1, ω+ 2, ω + 3… ω +
ω.2, ω.2 + 1, ω.2+ 2, ω.2 + 3… ω.2 + ρ…
ω.//, ω.μ + 1, ω.μ + 2… ω.μ +
ω[279], ω2+1… ω2 + ω.μ + ν… ω3… и т. д.
Картиною для обозначения этих символов, охватывающих какое угодно многообразие, может служить такая, по выражению Керри (Kerry), «вавилонская башня»:
ω ω ω ω.
Дав эти отрывочные замечания, мы возвращаемся к нашим мощностям и покажем теперь, как строится их скала. — Каждый тип имеет свою мощность, равную мощности и группы, из которой мог бы быть получен тип. Но данному количественному числу, данной мощности, соответствует тип не один, а трансфинитное множество. Последнее обозначается знаком [и] и носит название класса типов. Группа [п] имеет, как и всякая группа, свое количественное число и', причем и' больше и. Число это а называется числом, определенным через класс типов [и]. Возьмем же наименьшую из мощностей Nq. Совокупность· всех типов, т. е. типов счетовых групп, имеющих мощностями N0, сама уже, как доказывается Кантором, не есть группа счетовая; этот класс типов [N0] имеет мощности {NJ, ближайшую, после N0 и потому группа [N0] не может быть «сосчитана» числом N0. Подобным же образом мы получим последовательно все большие количественные числа Ν2, N…Ny…, причем каждое из них способно охватить сооою, «счесть» совокупность всех типов, имеющих мощность, равную предыдущему числу этой скалы. Скала эта восходит все выше и выше беспредельно. Но из того, что мы можем забираться все далее и далее, не следует, что мы можем дойти и куда угодно. И в самом деле, если бы мы могли индексами при этих N ставить только натуральные числа, — конечные «числа порядка», — то построенная скӓла не охватывала бы собою всякой мощности.