Страница 27 из 233
Другой заявляет: «Да, я согласен, что актуальная бесконечность немыслима, внутренне противоречива: вы правы, утверждая, что это — contradictio in adjecto[254]. Но раз так, то… и Абсолютное, как бесконечность, есть contradiclio in adjccto. Извольте, я согласен признать Бога, но не сущего, а только становящегося. В каждый момент Он — конечен, и беспрестанно приходя в бытие, он по справедливости может быть, назван бесконечностью, но… только потенциальной».
Чтобы разъяснить эту трудность, вернемся к первоначальным определениям. Пусть Μ есть некоторая устроенная группа. Тип порядка ее не меняется, если мы произведем на ней попарные перестановки элементов, так называемые транспозиции. Можно было бы подумать, что вообще, как ни расставляй элементы, все будет получаться один и тот же тип порядка. Но, оказывается, что это так только тогда, когда группа конечна; всякую данную нам перегруппировку конечного числа членов мы можем привести ко всякой другой последовательными транспозициями и, следовательно, всякая конечная группа, пока в ней остаются прежние элементы, имеет один и тот же тип, который здесь носит название «число». Это есть то, что мы называем числом в обыденной речи, в арифметике и т. д. Таким образом, для конечной группы, — и в этом ее определение и характеристика, — тип порядка, число‚ не зависит от порядка элементов, а только от данности самих элементов. Значит, если только конечные группы эквивалентны, то они и подобны, имеют одинаковые типы (тут речь идет о группах просто устроенных). А раз так, то для конечных групп тип порядка и мощность делаются неразличимы; все равно, о чем говорить, о типе ли, или о мощности, и это‑то обстоятельство вводило всех в заблуждение.
Это специальное свойство конечных групп хотели во что бы то ни стало натянуть и на группы трансфинитные и, когда это не удавалось, то объявляли последние невозможными. Во множестве существующих доказательств против возможности актуальной бесконечности имеется приблизительно одно и то же pctitio ргіпсіріі[255].
Предполагают от противного возможность актуальной бесконечности, затем говорят, что она должна иметь свое отражение в духе — «бесконечное число»; после этого подсовывают более или менее ловко в определение такого числа свойства или одно из свойств конечных чисел и, наконец, торжественно заключают о внутренней противоречивости «бесконечного числа», а следовательно, и актуальной бесконечности. Вся процедура эта однако очень невинна, потому что на самом деле доказывает путем длинных и изворотливых соображений, что числа бесконечные или, что то же, числа /^-конечные не могут быть конечными. Но нужно было более 30–ти лет работы, чтобы в корне уничтожить все такие попытки^ которыми хочет баррикадироваться horror infiniti [256] ‚ скрывающийся за ними.
Относительно конечных групп Кантор доказывает далее[257] [258], что у них часть группы никогда не эквивалентна целой группе; но однако, если мы не предположим конечности группы, то «это предложение перестает быть справедливым, и тут, — говорит Кантор, — лежит глубочайшее основание существенного различия между конечными и актуально–бесконечными числами и группами, различие, которое так велико, что мы в нем имеем оправдание называть бесконечные числа вполне новым родом чисел. Математики и философы издревле не могли справиться с этим камнем преткновения, и большинством было постановлено считать непоколебимо и упорно, что его нужно противопоставить всем попыткам сделать дальнейший шаг в учении о бесконечных; поразительна живучесть этого древнего и, несмотря на свою ложность, укоренившегося принципа, именно, «что является противоречием, если бесконечной группе Μ будет приурочено то же число и ее части М»[259] [260].
Пусть М=(М', М"), так что М' — часть М. Что, собственно, мы говорим, когда утверждаем, что в некоторых случаях может быть М' = М? только то, что группы М' и Μ находятся под одним и тем же общим понятием, которое получено через отвлечение от природы и порядка элементов в одной из этих групп; в других терминах это скажется так: группы М' и Μ эквивалентны, они имеют одно и то же число. «Но с какого времени, — спрашивает Кантор, — стало противоречием видеть, что составная часть целого в каком‑нибудь отношении стоит под одним и тем же «universale» как целое? Может быть на это можно возразить, что, конечно, вообще бывает› что целое и его составная часть могут стоять под одним и тем же «universale», но только здесь дело идет об особом виде общих понятий, о числах, и для чисел это не имеет места. Тогда, — продолжает Кантор, — с моей стороны можно было бы потребовать, чтобы было приведено доказательство последнего утверждения, по которому у чисел в сказанном направлении имеет случай исключительности. Быть может, правда, этого доказательства будут искать здесь и там; но удается оно тогда только, если молчаливо привносится предположение, что дело идет о конечных группах, а это предположение — именно то самое, которое здесь нужно устранить.
Но чтобы предотвратить, насколько я в силах, бесполезные хлопоты, я хочу осветить дело еще яснее и замечу следующее: утверждать, что группе Μ приурочено то же самое количественное число, как и ее составной части М', вовсе не равнозначаще с высказыванием, что конкретным группам Μ и М' присуща одна и та же реальность‚ так как, если даже выполнено условие равенства у принадлежащих им общих понятий Μ и М', то этим не опровергается предположенный факт, что группа Μ охватывает реальность М', как и реальность М". Разве группа и ей принадлежащее количественное число не вполне различные вещи?
Разве не противостоит нам первая, как объект, тогда как последнее есть абстрактный его образ в нашем духе? На древнее, так часто повторяемое положение: «totum est majus sua parte»[261] можно без доказательства соглашаться только в отношении сущностей (ЕпШӓІеп), лежащих в основе у целого и части; тогда и только тогда оно есть непосредственное следствие из понятий «totum» и «рагѕ»[262]. К несчастью, однако, эта «аксиома» применяется бесчисленно — часто без всякого основания и под опущением необходимого различения между «реальностью» и «величиною» или, соответственно «числом» группы; она употребляется именно в том значении, в каком она вообще ложна, раз только дело идет об актуально–бесконечных группах, и в каковом значении для конечных групп она верна только на том основании, что здесь мы не в состоянии доказать ее правильность»[263]. Рассмотренный выше пример ряда целых чисел, который несомненно богаче элементами, чем группа четных чисел, и однако имеет с последнею одинаковое количественное число, ясно показывает, в чем тут дело и окончательно разъясняет слова Кантора.
Характеристика и определение трансфинитных групп заключается именно в том, что группы эти суть, так сказать, общие группы; они равномощны с некоторыми из своих частей, и всегда можно найти часть, имеющую такое же количественное число, как и целая группа. «В непризнании этого обстоятельства, — говорит Кантор[264] [265], — я вижу главное препятствие, которое с древнейших времен было противопоставлено введению бесконечных чисел». Но нужно помнить, что этим именно обстоятельством характеризуется, можно сказать, группа вообще, и только в виде исключительно–специального случая может оказаться, что среди всех групп, составленных из элементов данной, только одна — она сама же эквивалентна себе. Тогда этот специальный случай получает название «группы конечной».
Итак, группа конечная есть один из возможных случаев группы вообще; она определяется вполне строго, как группа нетрансфинитная, и мы можем изучать ее удобнее всего, исходя из общей идеи о группе. Сколько‑нибудь внимательный взгляд открывает каждую минуту трансфинит в себе, в окружающем. Идея бесконечного пронизывает остальные, их связывает в единый образ, и, в свою очередь, предполагая Бесконечное, дает символическое познание Абсолюта.
VII
Чтобы показать, как именно строит Кантор свою иерархию символов для познания актуально–бесконечного, необходимо в нескольких словах разъяснить алгебру трансфинитных чисел, определить, что такое значит производить те или другие действия над этими символами. Вообще говоря, произвести действие над символом, каков бы он ни был, это значит совершить мысленный переход от одного символа, с которым мы оперируем, к некоторому другому, так, что результат перехода зависит: I) от оперируемого символа, 2) от природы (genus proximum)[266] данной операции и 3) от специального определения данной операции, в отличие от всякой другой, стоящей под тем же genus; эта спецификация делается тоже при помощи некоторого символа, однородного с оперируемым. Для краткости мы, согласно Schubert'y[267], станем называть оперируемый символ — символом пассивным‚ а символ, определяющий действие — активным. Так, например, если мы прикладываем к 3 число 2, то 3 есть пассивное число, а 2 — активное.