Страница 26 из 233
Чтобы несколько ближе выяснить смысл подобия групп, возьмем для примера группу целых положительных чисел и группу четных положительных чисел. Мы видели, что они эквивалентны; но из самого способа установки соответствия явствует, что порядок элементов в соответствии не нарушен, потому что большему элементу в первой группе соответствует и больший во второй, а элементы обеих групп расположены по величине. Следовательно, группы конформны. Хорошим примером конформных групп может служить совокупность окрашенных точек картины и совокупность окрашенных точек ее копии: по каждому из четырех направлений, указанных выше, ранговый порядок точек копии совпадает с ранговым порядком точек картины. Не останавливаясь на дальнейших подробностях, переходим к самой сути.
V
Всякая группа Μ есть некоторое целое› в которое элементы входят, как его составные части; мы предполагаем, что все эти элементы вполне различаемы друг от друга мысленно, но нам совершенно безразлично, будут ли они неоднородны или однородны, сложны или просты. Сейчас нам важно лишь то, что они различны и что они объединены в целое.
До сих пор мы рассматривали группу в связи со всеми особенностями ее элементов. Но мы можем сделать акт отвлечения от природы элементов. Тогда каждый элемент даст от себя изображение в духе–схему неразличимого единства, единицу; группа же, как целое, даст свой идеальный оттиск, интеллектуальный образ- схему множества, устроенного единством, или, иначе говоря, схему единства, но не пустого, а объединяющего собою множество. Получится форма различия, но различия устроенного и объединенного. Это будет некоторое общее понятие (в широком смысле), Allgcmein- begriff, universale, т. е. unum versus alia в значении unum aptum inesse multis[247] (M. Liberatore)[248]. Ясно, что так как мы отвлеклись только от природы элементов, то под это общее понятие подойдут все те группы, которые разнятся от данной только природою элементов, но не порядком их, например, т. е. группы подобные данной. Ведь между ними и группою Μ можно установить соответствие, так что каждому элементу Μ будет соответствовать элемент одной из таких групп, и порядки их по каждому направлению будут одинаковы.
Это общее понятие Г. Кантор называет типом порядка группы М, Ordnungstypus, символически обозначает акт абстракции над группою через черточку, поставленную сверху обозначения группы; полученный значок обозначает результат акта–тип порядка, который обозначается у Кантора также греческою буквою. Например, тип порядка группы Μ будет Й = а. Таким образом, «если мы отвлечемся у п–краты устроенной группы Μ от природы элементов, при удержании их рангового порядка по различным π направлениям, то в нас будет возбужден интеллектуальный образ, общее понятие (universale) ‚ которое я называю η–кратным типом порядка‚ присущим группе М, или также идеальным числом (а ptfl/‹ӧѕ νοητός), соответствующим группе М, и обозначаю через М"»[249] [250].
Понятно, что тогда и только тогда Я — Ν, т. е. группы Μ и N имеют одинаковый тип порядка, когда Μ ε? Ν, и наоборот, если Μ ™ Ν, то Й = Таким образом выясняются условия «равенства» идеальных чисел.
Особенно важное место имеет тот случай, когда группа Μ единожды или просто, einfach, устроена. Этот случай мы рассмотрим далее, а пока обратимся к другому не менее важному понятию, понятию мощности.
Пусть мы опять имеем группу М. Акт двоякого отвлечения, как от природы и свойств элементов, так и от всех их отношений, а стало быть и от устройства, от порядка группы, дает некоторое общее понятие, universale, под которое подходит сказанная группа, как все ей эквивалентные. Это понятно, потому что показывая эквивалентность групп, мы обращаем внимание на данность элемента, а не на его природу или его отношение к другим элементам. Полученное общее понятие Кантор называет мощностью (Machtigkeit, puissance) группы Μ, или присущим ей количественным числом (Cardinalzahl)[251]. «Мощностью» или «количественным числом», говорит Кантор, мы называем общее понятие, которое проистекает из группы Μ с помощью нашей способности активно мыслить (activen Dcnkvermogens) через то, что делается отвлечение от природы разных ее элементов и от порядка их данности[252] [253]. Результат этого двоякого акта отвлечения обозначается через знак группы, но с двумя черточками сверху, или же готи- ческой_буквой, так что, например, мощность группы Μ будет Μ = «♦
Само собою ясно, что если мы возьмем тип устройства α для группы М, то, делая над α акт отвлечения от порядка составляющих его единиц, мы получим мощность группы Μ и вместе с тем мощность типа а, которою он несомненно обладает, так как сам он есть устроенная группа единиц. Итак,
(M) = М = а = N.
Отсюда, между прочим, следует, что Μ ∞ Μ ∞ М, точно так же, как конформность Μ и Μ: Μ ∞ М.
Рассмотрим еще некоторые свойства мощности. По определению мощности, можно сказать, что тогда и только тогда
Μ = Ν, когда Μ ∞ Ν,
и наоборот, если
Μ ∞ Ν, то Μ = N.
Другими словами, эквивалентные группы имеют одинаковые мощности, и наоборот, одинаковые мощности принадлежат только эквивалентным группам. — Точно так же ясно само собою, что если Μ со М' ‚ N со Ν' и т. д. QcoQ', то и группы сложения будут эквивалентны, т. е. будут
(Μ, N, Р… Q) со (М'‚ N', Р', и Q'). —
Вот те символы, до построения которых мы добирались. Эти мощности и типы порядка, носящие у Кантора общее название трансфинитных чисел, служат могучим средством для оформления хаотического, когда оно сказывается в бесконечном. И в то же время они являются символами для познания Бесконечного, но написанного не с «б», а через «Б». В этом последнем смысле они только приближают нас к постижению Его, только намекают «как зеркалом в гадании», но намекают лучше, яснее и выразительнее, чем многое другое. Причина этого в том, что они относятся непосредственно к Трансфиниту, стоящему как бы на середине между абсолютною полнотою и конечным, и по некоторым свойствам напоминают Бесконечное. Но прежде чем указать на кое- что из этой области, должно тщательно рассмотреть одно обстоятельство.
VI
Мы подошли к тому критическому пункту, который до Кантора приводил всех исследователей в замешательство и постоянно препятствовал развитию учения о Трансфи- ните.
Для равенства количественных чисел достаточно эквивалентности соответствующих им групп. Но мы уже видели, что часть группы может быть эквивалентна целой группе; так, например, можно установить соответствие между группою всех целых чисел и частью этой группы — числами четными. Точно так же группа точек, заключенных в отрезке, равном длиною двум единицам, эквивалентна группе точек в отрезке равном одной единице. Подобным же образом Кантор доказал, что последняя группа эквивалентна совокупности всех точек внутри некоторого квадрата, например, со стороною в одну единицу длины. Последнее кажется чрезвычайно странным, так как внутри такого квадрата помещается сколько угодно — трансфинитная группа — таких прямолинейных отрезков, и на каждом из них расположено по трансфинитной же группе точек, эквивалентной первой. Выходит, что, так сказать, часть бесконечно малая в отношении к целому равна ему. Такие примеры или им подобные, способны заставить усу мниться в законности актуальной бесконечности. «Ведь четные числа суть только часть всех чисел целых; точки на прямой будут частью всех точек пространства. Как же часть может равняться целому? Не доказывает ли это внутренней противоречивости наших понятий о количественных числах, когда мы относим их к трансфинитным группам?
Если от бесконечной прямой отрезать конечный кусок, то длина ее не изменится. Неужели это не нелепость?» — вот что говорили и говорят против трансфинитных групп и чисел, их счисляющих. Я бы устал, перечисляя имена авторитетов, как в области богословия и философий, так и в области математики, указывавших на разные лады и в разных, часто весьма хитрых, перефразированиях, на такое обстоятельство. Кто только не делал из него мишени для своего диалектического остроумия, для испытания своей правоверности, для моментального уничтожения идеи Бесконечного. Кардиналы и малоизвестные монахи, сильные и свободные мыслители и лица, пресмыкающиеся в сознательной тенденции, авторитеты и неавторитеты, имя которым легион ‚ разные головы всячески упирали на этот факт, одни — из чистого стремления к истине, другие — из желания во что бы то ни стало настоять на своем; одни думали уничтожить этим пантеизм, другие надеялись раздавить теизм. И, удивительное дело, противоположная тенденция соединила врагов к общей бесполезной трате сил. Мало того, каждый, копая яму другому, не замечал, что тем самым подводит мину под себя самого. Один противник говорит, что актуальная бесконечность немыслима и что мир, поэтому, не будучи бесконечным, не может быть самосущим.