Страница 25 из 233
Такими объектами, вообще говоря, служат части групп Μ и N, но практически нужны бывают главным образом соответствия такого рода, что каждому элементу в Μ соответствует один элемент в N и обратно, каждому элементу в N соответствует один элемент в М. Если при этом, взяв некоторый элемент ш, мы получим ему соответственный элемент п, а взяв тот же элемент η получим первоначальный элемент ш, то соответствие будет взаимным и однозначным. Такие только соответствия нам будут нужны в настоящем абрисе исследований Кантора. Чем реализуется связь между элементами, чем, так сказать, фиксируется она — это нам совершенно безразлично, так как мы рассматриваем вопрос только формально, и важным является только наличность соответствия. Эта связь может быть реализована словесной формулой (если дан элемент, то по таким‑то и таким‑то признакам нужно отыскать соответствующий ему п), может — формулой аналитической; можно, наконец, установить соответствие какими‑нибудь конкретными операциями (геометрическое построение, например), или даже ассоциациями, если только мы можем гарантировать неизменность их на все время исследования.
Простейшим примером соответствия и притом однозначно–взаимного, является всякая нумерация; каталог музея, библиотеки есть то, что устанавливает соответствие между выставленными предметами или книгами и их названиями. Точно так же личные интересы устанавливают соответствие между театральными билетами и лицами, которым они принадлежат; нумера, написанные на местах, и нумера на билетах устанавливают соответствие между местами и билетами, следовательно, между местами и лицами, имеющими право на места, и т. д. Но эти примеры даны только для пояснения, и понятно, что в математике таким соответствиям нет места.
Взаимность и однозначность соответствия не определяет еще соответствия вполне; поэтому мы можем предъявить к нему дополнительные требования, наложить еще некоторые условия, и в некоторых случаях они будут выполнимы. Тогда соответствие получает специальный характер и обозначается соответственными знаками.
Так, например, если имеется между группами Μ и N просто взаимное и однозначное соответствие, которое ради краткости мы станем обозначать словом «соответствие», то в знаках это обозначается так: Μ со Ν, причем группы Μ и Ν, способные быть приведенными в соответствие, получают название групп эквивалентных. Можно, кроме того, потребовать, чтобы в эквивалентных группах было при установлении соответствия сохранено их устройство, так чтобы, если Μ и N группы п–краты устроенные, то любым элементам га' и т" из М, имеющим, по к–му направлению определенное ранговое отношение, соответствовали в группе N элементы п' и п" с таким же ранговым отношением, и наоборот: если, например, m' > m", то должно быть п' ›- п" и т. д. Если группы можно привести в соответствие, удовлетворяющее этим заданиям, то Μ и N получают название подобных или конформных групп, а в знаках конформность их обозначается так[241]: Μ ^ N. Мы не станем разбирать других, более или менее специальных соответствий, так как это чрезмерно увеличило бы размер статьи. Но для пояснения сказанного привести несколько примеров все‑таки нужно, тем более, что они сразу знакомят с некоторыми замечательными свойствами трансфинитных групп[242]. Как видно из изложения, до сих пор мы не должны были упоминать ни одним словом о том, конечна ли группа или бесконечна.
Указанные методы одинаково пригодны для исследования того и другого и, по правде сказать, пока еще мы не знаем разницы конечной и бесконечной группы, не имеем признаков, по которым могли бы различить их. Они появляются в канторском исследовании сравнительно поздно и тут‑то открывается пропасть, разделяющая конечное от бесконечного.
Итак, возьмем несколько примеров на соответствие групп. Сначала берем группы эквивалентные.
1. Группа цветов радуги (красный, оранжевый, желтый и т. д.) и группа скалы тонов (С, D, Е, Ғ…) эквивалентны между собою. Поступая для наглядности грубо, можно хотя бы выкрасить клавиши, дающие сказанные 7 тонов в соответственные 7 цветов, и тем соответствие установится[243].
2. Группа пальцев рук и группа точек арифметического треугольника[244]. V. эквивалентны.
3. Трансфинитная группа всех целых положительных чисел
1, 2, 3, 4, 5… ѵ…
и группа всех четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, 10… 2v…
тоже эквивалентны. По–видимому, это — нелепость. «Ведь целых чисел больше‚ чем четных, раз среди целых находятся четные, да еще кроме того нечетные», — скажет, вероятно, кто‑нибудь. И однако в известном отношении первых столько же› сколько вторых. В самом деле, мы можем доказать эквивалентность этих групп, de facto[245] установивши их соответствие. Именно, соответственными мы будем считать числа вида ν из первой группы и числа вида 2ѵ из второй, где ν принимает всевозможные целые значения. Следовательно, каждому числу ν из первой группы найдется соответственное четное число 2ѵ из второй, и наоборот, всякому числу 2ѵ из второй найдется соответственное из первой. Если символически мы станем обозначать соответственность элементов, соединяя их черточками, то нам придется соединять числа, подписанные одно под другим, и мы увидим, что всякое число нижней строчки будет связано с каким‑нибудь одним из верхней, и наоборот. Строчки, так сказать, можно наложить друг на друга соответственными элементами.
4. Группа всех рациональных чисел (дробей) эквивалентна группе целых чисел. Этот факт является особенно поразительным не только потому, что среди группы рациональных чисел имеются уже и целые, но и вследствие особого свойства рациональных чисел образовывать группу, «всюду плотную». Дело в том, что между каждыми двумя рациональными числами заключено сколько угодно еще других рациональных чисел и, взяв какое‑нибудь из этих чисел, мы не в состоянии указать ближайшее по величине после взятого; ближайшего числа к взятому не существует‚ потому что, какое бы близко лежащее мы ни взяли, всегда найдется другое, лежащее еще ближе. Поэтому, если бы, желая установить соответствие, мы расположили рациональные дроби в их натуральном порядке, по величине, то невозможно было бы указать числа соответствующего данному целому числу, если предыдущее (по величине ближайшее меньшее) целое число уже имеет свое соответственное. В самом деле, какое бы число рациональное мы ни выбрали в качестве соответственного взятому целому, мы непременно трансфинитное множество других рациональных дробей опустим, и в соответствие они не попадут. Казалось бы, что рассматриваемые группы не эквивалентны. Однако Кантор показал весьма простым способом, что это не так, и что соответствие можно установить, но для этого нужно только рациональные числа перетасовать и разместить в новом порядке.
Тогда каждому из них окажется возможно приписать свой номер, чем соответствие установится. Располагаем наши дроби именно в таком порядке, в виде таблички:
1/1, 1/2, 1/3, 1/4… и т. д.
2/1, 2/3, 2/5, 2/7… «
3/1, 3/2, 3/4, 3/5… «
4/1, 4/3, 4/5, 4/7… «
Сделав это, не трудно выписать теперь дроби в сказанном расположении и подписать под каждой соответственный ей номер, для чего будем последовательно идти по диагоналям составленной таблицы. Получаем строчку всех дробей:
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/3, 3/1,
1/4, 2/5, 3/2, 4/1… и т. д.
и строчку соответствующих им номеров:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… и т. д.
Вследствие такого свойства рассматриваемая группа рациональных чисел, равно как группа четных чисел и многие еще другие, может быть, так сказать, отсчитываема рядом натуральных чисел. Ввиду этого эти группы, как и все, с ними эквивалентные, носят название групп счетовых (аЬгӓһЉаг).[246]
Но не следует думать, что всякая группа может быть приведена в соответствие с натуральным рядом, т. е. что всякая группа будет счетовой. Ближайшим примером несчетовой группы может служить совокупность всех точек какого‑нибудь прямолинейного отрезка, или еще совокупность всех иррациональных чисел. На первый взгляд это кажется странным, так как, например, совокупность всех иррациональных чисел «по виду» ничем не отличается от совокупности всех рациональных чисел: и та и другая группа «всюду плотна», и та и другая имеет «пробелы», т. е. существуют среди всех чисел такие, которые не попадают в группу рациональных, равно как существуют не попадающие в группу иррациональных. Но строгое доказательство, впервые данное Кантором, бесспорно убеждает в их не–эквивалентности.