Страница 23 из 233
до словесного выражения числа, состоящего из 48 или 49 знаков. «И более сего, — обыкновенно говорится в рукописях, — несть человеческому уму разумевати…» Основные названия, употребляемые во второй системе, были те же, что и в первой, но с другим значением для высших между ними, начиная с тьмы. Тьма в великом счете обозначала тысячу тысяч или миллион, легион — тьму тем или миллион миллионов, т. е. биллион, наконец, леодр — легион миллионов или биллионов. В некоторых рукописях мы встречаем также неупотребительное в малом счете название ворон для обозначения леодра леодров… Названия единиц все 48 и 49 разрядов вместе с письменными выражениями как их самих, так и их различных чисел посредством цифр индейских и славянских сгруппировывались иногда в таблицу, которая называлась обыкновенно «написанной великим числом границей». […] С помощью этой таблицы, говорится в одной рукописи, «которое число в которой поставке (строке) будет и ты можешь его по той границе именовати и числом явственно нарещи…». Единица 49–го разряда, или ворон, однако же не всегда составляла крайний предел употребляемого нашими предками счисления. Иногда, как показывают некоторые рукописи нематематического содержания — (XVII в.) шли дальше, доходя до единицы 50 го разряда, т. е. до десяти воронов.
Как и относительно предыдущей, об этой новой единице говорили, что «сего числа несть больши» и называли ее особенным именем колода…»
До сих пор мы имели дело с такими системами счисления, которые, доходя до единицы того или другого порядка, высшего символа, останавливались и ставили точку: «сего числа несть больши». Однако мало–помалу это сознание ограниченности натурального ряда уничтожается и вытесняется представлением обратным. Числовой ряд может быть продолжаем как угодно, в нем нет наибольшего числа и после каждого можно указать еще и еще числа. В неясных обликах эта идея о беспредельности ряда чисел возникла у индусов, и мысль, только что сделавшая это открытие, тешилась опытной «проверкой». Числовые спекуляции с громадными числами в законах Ману[211], все космогонические идеи, легенда о Будде, побивающем в счете мудрецов, и другие факты в том же духе напитаны идеей о потенциальной бесконечности, хотя, конечно, последняя не очерчена достаточно отчетливо. Этой идеей дурной бесконечности, которая, несомненно, скрывается за большими числами, нас как будто хотят раздавить. Хочется сказать, что идея потенциальной бесконечности есть национальная идея арийцев, по преимуществу индусов, как актуальной — семитов, главным образом евреев.[212]
Вот пример индусского мышления: «Соединение тысячи миров желания с тысячью миров переходных от первых, — образует у буддистов так называемый малый хи- лиокозм, или малое тысячное счисление миров. Третья ступень мира форм обнимает собою тысячу миров второй ступени и тысячу малых хилиокозмов, следовательно, — миллион земель, солнцев, словом — миллион миров желания с миллионом миров переходных. Четвертая ступень обнимает тысячу миров, каждый с тысячью миллионов миров первой ступени и миллионом второй. Это- великий хилиокозм. За этими мирами следует еще высший, небесный «мир бесформенности», со своими четырьмя небесами, т. е. мир, в котором нет и формы бытия, никакого признака существования. Но и этим не ограничиваются буддисты в своем стремлении увеличить число миров. Великий хилиокозм, состоящий из тысячи миллионов миров, в свою очередь дробится на множество таких же хилиокозмов. Тысяча таких великих хилиокозмов, по воззрению буддистов, составляют только ту систему мира, на которую простирается влияние Будды и где слышится его слово. Все это не больше, как точка в безграничной вселенной^ капля в море… Для обозначения числа миров пишется линия цифр в 44 тысячи футов длины, состоящая из 4 456 448 нулей[213].
Эти довольно смутные идеи были резко и окончательно сформированы Архимедом, в его знаменитом «Ψαμμίτιης», письме к царю Гелону[214]. Тут Архимед показывает, что возвышениями в степень можно получить число, считающее всякое конечное множество, как бы велико оно ни было, и что, следовательно, ряд чисел можно продолжать как угодно далеко. Ту же идею, но в менее строгой форме, высказывали каббалисты: десять чисел, «десять сфиро» могут породить собою все остальные числа, ряд которых бесконечен. «Для десяти сфиро не существует предела ни в прошедшем, ни в будущем»[215]. Тут, конечно, я беру только формально- арифметический смысл этих утверждений и опускаю мистико–метафизический; мне сейчас нет до последнего никакого дела.
Мы добрались до признания бесконечной продолжаемости ряда. Остается еще один шаг, последний. Продолжая числовой ряд, как угодно далеко, мы всегда будем получать числа конечные, мы никогда последовательным прибавлением единицы не пробьемся через границу конечного, как то строго доказано Кантором. Дальнейший прогресс потому состоит в том, чтобы дать процесс, создающий новые, совершенно своеобразные символы, которые бы подчиняли себе и бесконечные множества; мы хотим охватить и расчленить серую и однообразную массу бесконечности так, чтобы в ней появилась индивидуализация. У нас не хватает, так сказать, пальцев, по которым можно было бы отсчитывать бесконечные множества. Надо их придумать[216]. Позитивизм говорит: «И боле сего, — т. е. более конечного, — несть человеческому уму разумевати»[217]. Георг Кантор показал, что желание позитивизма ограничить — тщетно, и мы постараемся дать самый коротенький очерк некоторых его идей.
IV
Группа[218]. — Канторовское учение об актуальной бесконечности и о символах ее все выросло на почве молодой, но уже теперь достаточно обширной науки, почти целиком им же созданной, — науке о группах (Mengenlehre, Mannigfaltigkeitslehre)[219]. Если говорить попросту, то оно есть частный отдел такой науки. Необходимо, значит, указать, что это за наука и каковы ее основоположения[220] [221].
Из самого названия науки явствует, что основною идеею в ней является идея группы (Menge, Mannigfal- tigkeit, ensemble)[222]. Но идея эта так обща и в то же время является таким необходимым условием всякого познания, что определять ее, согласно известному совету Паскаля[223], не представляется нужным, да и едва ли это возможно. Тому, кто уже не имел бы идеи группы, определение ничего не уяснило бы, а тому, кто ее имеет, оно излишне, так как эта идея всегда отчетлива и ясна. Но, однако, я говорю слово «группа» и большинству этот термин мало–понятен; необходимо пояснить, какую именно идею мы разумеем под таким словом. Для разъяснения можно сказать так: всякий результат синтеза некоторой множественности. в единство актом духа есть группа, есть некоторая простая вещь для себя. Следовательно, наука о группах есть наука о множестве и единстве в их взаимоотношениях. Тут, по правде сказать, я применяюсь к обычному словоупотреблению и объясню через единство и множество то, что на самом деле первее их, если не логически, то гносеологически: множество является в духе как результат отвлечения единства от группы. Мы не можем иметь идеи о множестве, не связанном никаким единством, так как оно делается единством хотя бы потому, что мыслится единым субъектом.
Наоборот, единство не может быть пустым единством, единством ничего, никакого множества: такое единство ничем не отличалось бы от своего отрицания, т. е. было бы само ничем. Единство и множество, в виду этого, не самостоятельные идеи, а только соотносительные признаки идеи — идеи группы.
Заметив это, поясним далее термин группы. «Под «группою» мы разумеем, — говорит Кантор, — каждое объединение духом в целое Μ определенных, различных между собою объектов m нашего воззрения или нашего мышления (которые называются «элементы» М)» — «Unter einer «Menge» verstehen wir jede Zusammenfassung Μ von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten in unse- rer Anschauung oder unseres Denkens (welche die «Elemente» von Μ genannt werden) zu einem Ganzen»[224] [225].
В знаках это выражается так:
Μ — {m}.
Объединение многих групп, временно рассматриваемых, как элементы, в группу высшего порядка, если эти группы не имеют общих элементов, обозначается знаком (Μ, N, Р…), так что элементы полученной в результате группы суть совместно взятые элементы групп М, N, Р…[226]
«Частью» или «частной группой» (Thcilmcngc) группы Μ Кантор называет каждую другую группу Μι такую, что элементы ее в то же время суть элементы М. Ясно из этого определения, что если Мг есть часть Мі, a Μι — часть М, то и Мг — часть М.
Чтобы окончательно выяснить смысл основного термина группа, я приведу несколько синонимов его. Таковы, например, выражения «совокупность», «объем» (в логическом смысле» Inbegriff)[227] «коллекция», «ансамбль» и т. д. Примерами групп могут служить, хотя бы, совокупность точек, лежащих на некоторой окружности, совокупность всех целых чисел, совокупность книг данного автора, людей определенных убеждений и т. д.; таковы же будут собрания, совокупности известного рода чувствований, частей данного определенного количества, состояний какого‑нибудь процесса и т. п.