Страница 42 из 44
* Encore qu'il fut vrai que ma connoissance acquit tous les jours Je nouveaux degr?s de perfection cl qu'il y eut en ma nature beacoup de choses en puissance qui n'y sont pas encore actuellement, toutefois tous ces avantages n'appartiennent et n'approchent en aucune sorte de l'id?e que j'ai de la Divinit?, dans laquelle rien ne se rencontre seulement en puissance, mais tout y est actuellement et en effet (ib) «.
** «Бесконечность времени, — говорит Кант, — означает только то, что каждая определенная величина времени возможна только в силу ограничения единого, лежащего в основе, времени». Kr. d. r. V. Reklam. S. 104 — 105. Трудно лучше выразить фундированность конечного в бесконечном!
142
суть прежде всего математические категории, а поэтому для их уяснения мы должны обратиться к математикам и философам сразу. Они должны нам ответить на вопрос: правда ли, что потенциальная бесконечность фундирована в актуальной? правда ли, что нельзя обойтись при помощи одной потенциальной бесконечности? Здесь нужно прямо сказать, что ответ на этот вопрос неоднороден. Здесь тоже великий водораздел философии, идущий издревле. Ибо существует horror infiniti, как существует horror Absoluti 14. И кто отрицает транс в Абсолютное, тот обыкновенно отрицает и транс в бесконечное, так как Абсолютное связано с бесконечным нераздельно. Существуют математики, утверждающие, что математика
знает только потенциально–бесконечное; актуально–бесконечное ей не нужно и математически непредставимо. С другой стороны, существуют математики–философы, такие, как Лейбниц и Кантор, которые утверждают, что только актуально–бесконечное есть настоящее бесконечное и что оно фундаментально для мысли.
Нетрудно заметить, что потенциально–бесконечное не есть настоящее бесконечное. В самом термине «потенциально» уже содержится эта мысль: потенциальный выигрыш — не есть настоящий и реальный выигрыш; потенциальный человек (эмбрион) не есть еще настоящий человек. Но в потенциальной бесконечности содержится еще меньше потенций, чем в этих примерах: в своем движении она никогда и принципиально не может выиграть настоящей бесконечности; она никогда не может «развиться» в настоящую бесконечность. Поэтому ее следовало бы скорее назвать «импотентной» бесконечностью. Это было уже нами показано на вечном и основном символе бесконечного, на числовом ряде: 1, 2, 3, 4, 5… «Потенциально–бесконечное» есть бесконечная возможность движения, выходящего за пределы каждого числа посредством прибавления еще одной единицы *. Ясно, что в этом движении, развертывающем ряд, мы будем встречать всегда только конечные величины и не можем встретить бесконечной величины. Поэтому вот как Кантор определяет потенциально–бесконечное: это то бесконечное, которое доселе обычно применялось в математике и которое означает переменную величину, возрастающую или убывающую за пределы всякой конечной границы, но при этом величину, всегда остающуюся конечной.
Очевидно, во всем этом «процессе» нет настоящей бесконечности и не может ее быть. Вот почему потенциально–бесконечное Кантор называет das Uneigentlich–Unendliche, несобственно–бесконечное, иначе говоря — собственно не б
есконечное; indefinitum 16 в отличие от infinitum. Вот почему Гегель, впервые указавший на это свойство потенциальной бесконечности, назвал ее «дурной» бесконечностью.
* Поэтому потенциальная бесконечность есть fieri 15.
143
Поставленный выше вопрос: «Нельзя ли обойтись при помощи одной потенциальной бесконечности?» — становится, таким образом, весьма радикальным — он означает ни более ни менее как следующее: «Нельзя ли обойтись при помощи одного конечного? Нужно ли вообще настоящее бесконечное в математике?»
5. СУЩНОСТЬ АКТУАЛЬНО–БЕСКОНЕЧНОГО КАК ВСЕЕДИНСТВО
Прежде всего, что такое настоящее бесконечное и при каких условиях мы имеем право о нем говорить? Потенция выхода за пределы каждого конечного числа, как мы видели, не дает нам права говорить о настоящей бесконечности; мы имеем лишь неопределенно–возрастающее множество в этом переходе от числа к числу, в этом fieri. Но если мы выйдем за пределы всех членов ряда, совершим своеобразный транс, поднимающий нас над всем рядом, дающий нам возможность обозреть, окинуть взором сразу весь ряд, — тогда и только тогда мы можем говорить о trarnsfinitum '7. Однако можно ли его обозреть весь? Что дает нам право говорить о всей бесконечности конечных чисел?
На это мы имеем драгоценный ответ Кантора: мы знаем закон всего ряда и всех его членов; этот закон определяет созидание каждого члена (он созидается прибавлением единицы) и строго определяет индивидуальное место каждого числа этого ряда: I, 2, 3, 4… Закон и только закон дает нам право сказать: весь ряд и вся бесконечность его членов! И мы имеем право сказать: «вся бесконечность», ибо знаем с очевидностью, что ряд этот не есть ряд конечный (потенциальная бесконечность показала нам потенцию выхода, транса за пределы каждого конечного). Кантор утверждает, что настоящая, актуальная бесконечность есть «хорошо упорядоченное множество», wohlgeordnete Menge. Понимание этого твердого порядка дает нам возможность в известном смысле обозреть сразу весь ряд.
Но «весь ряд», вся бесконечность есть нечто твердое, неизменное, лежащее в основе всех возможных движений в этом ряду, иначе говоря, esse, a не fieri. В итоге мы получаем такое определение Кантора: актуально–бесконечное, или бесконечное в собственном смысле, das Eingentlich–Unendliche, transf?nitum есть определенная постоянная величина (в отличие от переменной и потому неопределенной величины в потенциально–бесконечном), величина, лежащая за пределами всякой конечной.
Что мы имеем здесь нечто качественно совершенно новое, новую категорию, это ясно уже из того, что здесь впервые мы получаем «собственно–бесконечное», тогда как раньше мы имели лишь переход от конечного к конечному. Дело идет о самой категории бесконечного: чем оно отличается от конечного? И вот здесь мы должны обратить внимание на постоянно всплывавшее слово все: «весь ряд», «все члены ряда», «вся полнота ряда», «вся бесконечность». Оно раскрывает сущность бесконечного: беско-
144
нечное есть всеобщность, Allheit, всеединство, полнота (???????); конечное никогда не есть «все», конечное есть множество. Mehrheit, a не Allheit *.
Здесь встает основное сомнение греческой философии: возможна ли завершенная бесконечность? не есть ли бесконечное всегда ??????? 18, indefinitum, неопределенное, незавершенное и потому несовершенное? Тогда все совершенное будет необходимо определенным и конечным. Иначе говоря, только конечное есть настоящее «все» (только конечное «закончено»); о бесконечном никогда нельзя сказать «все», ибо бесконечное никогда не «закончено». Получаем настоящий антитезис тому, что было нами высказано, антитезис, точно формулирующий horror infiniti. Но антитезис этот абсолютно ложен.
Никакое множество не есть «все». Никакое конечное число не обнимает все числа. Конечное множество людей не означает всех людей: конечный отрезок времени не означает всех времен; конечный отрезок прямой от А до В не означает всей прямой, определенной этими двумя точками. Конечный отрезок (времени или пространства) не суммирует также всех своих частей (всякие конечные части содержат в себе следующие части). Он суммирует лишь тогда, когда усматривает в себе всю бесконечность бесконечно–малых. Только бесконечность дает право сказать «все». Только бесконечность есть полнота, законченность, совершенство. И всякое совершенное целое, integrum (напр., художественное произведение, в котором, по слову Аристотеля, нельзя ничего прибавить и убавить) 20 есть всеединство, или актуальная бесконечность. Напротив, каждое конечное множество всегда можно увеличить или уменьшить. А потому оно всегда неполно и незавершенно. Вот почему «конечность» есть метафизический символ несовершенства.
6. КОНЕЧНОЕ ФУНДИРОВАНО В БЕСКОНЕЧНОМ. ТРАНС И ТРАНСФИНИТНОЕ
Конечное есть фрагмент бесконечного, как любое число есть фрагмент из бесконечного ряда всех чисел, как отрезок АВ есть фрагмент всей бесконечной линии; как день один есть фрагмент «всех времен».
Только теперь мы получаем исчерпывающий ответ на поставленный выше вопрос: нельзя ли обойтись при помощи одного конечного? Нет, ибо конечное фундировано в бесконечном: весь ряд чисел 1, 2, 3, 4… содержит, несет в себе и обосновывает каждое конечное число, но не наоборот. Тем самым дан ответ и на другой вопрос: нельзя ли обойтись при помощи одного потенциально–бесконечного? Ведь последнее есть лишь переменное конечное, а потому о нем можно сказать то же, что сказано