Страница 64 из 82
Беркли никак не мог согласиться с геометрическими построениями «в точке»: «…Точка рассматривается как треугольник или же допускается, что в точке образуется треугольник. Понять это представляется совершенно невозможным»[ppppppp] . Епископ – философ не хотел признавать никаких прагматических оправданий новых методов – эффективности, удобства и т.д.
Наука должна основываться на ясных принципах, которых он и не усматривал в новых математических методах. Построения с актуально бесконечными «принималось на веру», что было, по мнению Беркли, недопустимым: «Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, строго скрупулезны в своей собственной науке? Разве они не подчиняются авторитету, не принимают вещи на веру и не верят непостижимому?..
»[qqqqqqq] А если, несмотря ни на что, все-таки допускать подобные «верообразные» конструкции в науке, то разве не с большим уважением должны мы тогда относиться к религиозной вере: «Разве непостижимые тайны не могут с большим правом допускаться в божественной вере, чем в человеческой науке?»[rrrrrrr] Также критически относятся к включению актуальной бесконечности в число научных тем А.Арно и П.Николь в своей знаменитой «Логике».
Бесконечность для них тема, относящаяся к богословию, и применять к ней научный подход тщетно: «Наилучший способ сократить себе путь в изучении наук – не заниматься разысканием того, что выше нашего разумения и что мы не можем надеяться когда – либо понять. К этому роду принадлежат все вопросы, касающиеся могущества Божия, которое смешно пытаться объять нашим ограниченным умом, и вообще все, в чем есть бесконечность; ибо наш конечный ум в бесконечности теряется и слепнет, изнемогая под гнетом множества противоречивых мыслей, которые она вызывает»[sssssss] .
Те парадоксы, с которыми связано понятие актуальной бесконечности, — например, часть равна целому, бесконечная делимость пространства и времени, статус бесконечно малой и т.д., — показывают бессилие нашего ума понять бесконечное и рассмотрение их имеет, скорее, духовно – воспитательное, чем познавательное значение: «Польза извлекаемая из подобных умозрений, состоит не просто в том, что мы приобретаем познания, — эти познания сами по себе бесплодны.
Важнее то, что мы замечаем ограниченность нашего ума и заставляем его волей – неволей признать, что есть вещи, которые существуют, несмотря на то что он неспособен их понять. Поэтому имеет смысл утруждать ум подобными тонкостями, дабы умерить его самодовольство и навсегда отучить его противопоставлять свой слабый свет истинам, возвещаемым ему церковью, по тем предлогом, что он не может их понять»[ttttttt] .
И, наконец, в «Логике» в числе «некоторых важных аксиом, которые могут служить отправными положениями для выведения великих истин,» мы находим Аксиому девятую: «Конечный ум по природе своей не способен понять бесконечное»[uuuuuuu] . Б.Паскаль, сам внесший определенный вклад в создание дифференциального исчисления[vvvvvvv] , тем не менее, рассматривал бесконечное также, скорее, как границу человеческого познания, чем как его законный предмет.
В «Мыслях» Паскаля мы можем найти немало мест, обсуждающих свойства бесконечного, однако, обычно, цель этих обсуждений, скорее, морально – религиозная, чем научно – познавательная. «Единица, прибавленная к бесконечности, — пишет Паскаль, — ничуть не увеличивает ее, так же как одна ступня, добавленная к бесконечному расстоянию. Конечное уничтожается рядом с бесконечным, превращаясь в чистое ничто.
Так же и наш дух перед Богом; так же и наша справедливость перед божественной справедливостью. Несоизмеримость между единицей и бесконечностью не столь велика, как несоизмеримость между нашей справедливостью и божественной»[wwwwwww] . Две «аристотелевские» бесконечности, — бесконечно большого и бесконечно малого, — переживаются Паскалем глубоко экзистенциально, как знак зыбкости и принципиальной несамодостаточности человека: «Ибо чем же, в конце концов, является человек в природе?
Ничто по отношению к бесконечности, все – по отношению к ничто, середина между ничто и все. Он бесконечно удален от этих двух пределов, и его бытие не меньше отстоит от ничто, из которого он взят, чем от бесконечности, которая его поглощает»[xxxxxxx] . «Мы знаем, что существует бесконечность, и мы не знаем ее природы», — пишет Паскаль[yyyyyyy] .
Это незнание бесконечности имеет для него принципиальный религиозно – онтологический смысл. Дж.Локк в своем «Опыте о человеческом разумении» посвящает вопросу о бесконечном целую главу. Как выражается сам философ, «…наша идея бесконечности есть, на мой взгляд, бесконечно возрастающая идея»[zzzzzzz] . Другими словами, любую величину, которую созерцает наш ум, он может удвоить, утроить и т.д.
, короче, увеличить, представить больше, чем она есть. Самое ясное представление подобного рода – бесконечность ряда натуральных чисел и именно эту бесконечность возрастающего ряда чисел мы имеем в виду, подчеркивает Локк, когда говорим о бесконечности пространства, времени и т.д. Но у нас «нет положительной идеи бесконечного», — настаивает Локк.
«Полагаю трудно сыскать человека столь глупого, который решился бы утверждать, что у него есть положительная идея действительно бесконечного числа, бесконечность которого состоит исключительно в возможности постоянного прибавления любого сочетания единиц к любому прежнему числу в течении какого угодно времени и сколько угодно раз»[aaaaaaaa] .
То же относится и к идеям бесконечного пространства или времени, как просто приложениям идеи бесконечного числа. Другими словами, Локк признает существование только потенциальной бесконечности и отрицает существование актуальной. Трудно бы было и ожидать другого от одного из столпов европейского философского эмпиризма. Даже и эта идея бесконечности имеет, согласно философу, свое происхождение от ощущения и рефлексии[bbbbbbbb] … Однако, Локк все – таки признает, что у нас есть и идея актуальной бесконечности.
В книге IV своего «Опыта» в главе «О нашем познании бытия Бога» он показывает как «…из рассмотрения нашей собственной личности и того, что мы безошибочно находим в своем собственном строении, наш разум приводит нас к познанию той достоверной и очевидной истины, что есть вечное, всемогущее и всеведущее существо. Неважно, будут ли его называть «Богом»; очевидно само бытие его»[cccccccc] .
Атрибуты этого вечного существа актуально бесконечны и помимо Бога в локковском универсуме нет никакой другой актуальной бесконечности. Философский гений Лейбница нащупал тропинку, ведущую от инфинитезимальных построений к проблемам свободы. Действительно, использование бесконечно малых связано с бесконечной делимостью континуума и с фундаментальной проблемой его структуры.
Для непрерывных величин мы имеем так называемый алгоритм Евклида, который позволяет нам определять общую меру отрезков, если она существует. Если же даны несоизмеримые отрезки, например, сторона квадрата и его диагональ, то алгоритм Евклида никогда не закончит свою работу: получающиеся в результате его применения остатки будут становиться все меньше и меньше, стремясь к нулю.
Лейбниц уподобляет эту процедуру процессу нахождения логического доказательства истин. Истины бывают или необходимые, или случайные (истины факта). Необходимые истины – или тождественные утверждения «А=А», или сводимые к ним. Для рационалиста Лейбница все истины, включая и случайные, должны иметь свое оправдание, свое доказательство. Доказательство состоит в раскрытии того, что предикат содержится в субъекте утверждения.
В случае необходимых истин это доказательство «…посредством разложения терминов положения и подстановкой определения или его части на место определяемого…»[dddddddd] осуществляется за конечное число шагов. Если же мы имеем случайные истины, то подобное разложение уходит в бесконечность. В частности, таковыми являются и истины, фиксирующие свободное, произвольное действие.
Для нас они «случайны», но в лейбницевском универсуме нет случайных истин, все имеет свой резон, свое логическое основание: «…В случайных истинах, хотя предикат и присутствует в субъекте, это, однако, никогда не может быть доказано, и никогда предложение не может быть приведено к уравнению или тождеству, но решение простирается в бесконечность.