Страница 20 из 233
Потенциальная бесконечность делается более понятной, если всмотреться в генезис ея. Как это ни странно, но понятие о потенциальной бесконечности возникло на чисто конкретной почве, на почве вопроса о границах вселенной. Именно, толчок для возникновения его дал Анаксимандр своею системою, по которой неистощимая, неисчерпаемая потенция бытия — неопределенное, саге сроі, — наполняет пространство и из недр своих производит все. Но слово апейрон не обозначает, как доказывает Таннери[152], вопреки мнению Аристотеля и многих исследователей, бесконечности этой перво–материи, ее экстенсивной безграничности, а означает только слиянность и смешанность потенций, возможность для нее рожать существа еще и еще. Пространство же, по всем вероятиям, в представлении Анаксимандра есть сфера конечных размеров, — вместилище этого апейрона.
В существенно–новую фазу вопрос о потенциальной бесконечности вступает у Пифагора, когда было большее внимание обращено на пространство, хотя и не абсолютное. Слово апейроп получает в применении к пространству новое содержание, так как указывает на возможность безостановочного деления[153], из чего впоследствии выросло понятие о бесконечно–малом, кроме того, появляется сознание, что пространство беспредельно, безгранично вне космоса. «Нет сомнения, — говорит Таннери, — что логическая, «субъективная» необходимость понимать пространство, как бесконечное, поскольку такая необходимость понимать поддерживается геометрическими усмотрениями, стала очевидной уже с этого времени. Но оставалось узнать, имеет ли эта необходимость объективную значимость, приложима ли она к физическому пространству, понимавшемуся тогда, как место материи… Я особенно настаиваю на том, что вопрос возник прежде всего из потребности представить себе вселенную, и только Аристотель перенес его на почву логики»[154].
Рассмотрим теперь другой род бесконечности — бесконечность актуальную. С этой целью мы возвращаемся к нашему исходному пункту, к понятию quantum’a именно, quantum’a постоянного, и содержание этого понятия константы обогатим новым признаком. Некоторая константа может быть такова, что она стоит в ряду других констант того же рода, т. е. больше одних конечных констант и меньше других. Тогда она и сама будет конечной. Но может случиться, что она не стоит в ряду других постоянных, потому что она больше всякой конечной константы, как бы великой мы ее ни взяли. Тогда мы скажем, что наш quantum есть актуальная бесконечность, бесконечность in actu, actualiter[155], а не только in potentia[156].
Так, например, в диалоге «Bruno»[157] [158] Шеллинг блестяще вскрывает, что каждое понятие есть бесконечность, потому что оно объединяет собою множество представлений, не являющееся конечным; но так как объем понятия, по существу дела, вполне определен и дан, то эта бесконечность не может быть ничем иным, кроме актуальной бесконечности. Всякое суждение, всякая теорема[159] [160] носят в себе актуальную бесконечность, и в этом — вся сила логического мышления, как указывал еще Сократ.
Возьмем примеры более конкретные. Например, обращаясь к пространству, мы можем утверждать, что все точки внутри некоторой замкнутой поверхности образуют множество актуально–бесконечное. В самом деле, каждая из них вполне определена, значит, и все тоже вполне определены; но, однако, число их превосходит всякое из чисел ряда 1, 2, 3… п… и больше каждого из этих чисел. В этом же смысле мы можем сказать, что могущество Божие актуально–бесконечно, потому что оно, будучи определенным (в Боге нет изменения), в то же время больше всякого конечного могущества.
Очень ярко выражает мысль об актуальной бесконечности автор книги: «О небесной иерархии», книги, приписываемой Дионисию Ареопагиту.[161] «И то, по моему мнению, — говорит он, — достойно тщательного размышления, что говорит писание об Ангелах, то есть, что их тысячи тысяч и тьмы тем, умножая на самих себя числа, у нас самые высшие. Через сие оно ясно показывает, что типы небесных существ для нас неисчислимы; потому что бесчисленно блаженное воинство пре- мирных умов. Оно превосходит малый и недостаточный счет употребляемых нами чисел и точно определяется одним лремирным их разумением»[162].
В здесь рассмотренном понятии актуальной бесконечности не трудно узнать то, что у древних было известно под именем αφωρισμένον[163] схоластиков — под именем categorcmatice infinitum [164]‚ у новых философов — положительной, собственной бесконечности. Как выражается Гӧте[165] [166], «это — замкнутая бесконечность, более соответствующая человеку, чем звездное небо», причем последнее, конечно, разумеется именно как некоторая возможность устремляться все далее и далее, никогда не будучи в состоянии произвести синтез и успокоиться на целом.
Тут мы сталкиваемся с новым соображением. Чтобы была возможна потенциальная бесконечность, должно быть возможно беспредельное изменение. Но ведь для последнего необходима область изменения, которая сама уже не может меняться, т. к. в противном случае пришлось бы потребовать область изменения для области и т. д. Она однако не является конечной, и, следовательно, она сама уже является актуально–бесконечной. Следовательно, всякая потенциальная бесконечность уже предполагает существование актуальной бесконечности‚ как своего сверх–конечного предела[167] ‚ всякий бесконечный прогресс уже предполагает существование бесконечной цели прогресса, всякое совершенствование бесконечное требует признания бесконечного совершенства. Отрицающий актуально–бесконечное в каком бы то ни было отношении тем самым отрицает и потенциальную бесконечность в том же отношении, и позитивизм несет в себе элементы собственного разложения, так сказать, с позитивизмом происходит самоотравление продуктами его же деятельности. «Allerdings, — говорит Гутберлэ[168], — liegt darin eine grosse Inkonsequenz, dass man in neuerer Zeit alle naturwissen- schaftlichen auch offenbar veralteten Anschaungen des hi.
Thomas von Aquino mit reinlicher Sorgfalt zur Geltung zu bringen sucht, dagegen an einer so eminent speculativen Frage wie die Ewigkeit der Welt ihn im Stiche lasst (потому что, отрицая актуальную бесконечность, нелепо признавать вечность или бесконечность мира). Und auch darin liegt eine Inkonsequenz, dass man in der Erkentnis Gottes eine actual unendliche Menge m5glicher Dinge zugiebt, deren Moglichkeit selbst aber bestreitet. Man hilft sich da und sagt, man diirfe die Art der Gottlichen Erkenntnis nicht auf die menschliche Ubertragen; — gariz recht, aber darum handelt es sich nicht: Wenn eine actual unendliche Menge in sich widersprechend ist, dann kann sie auch in Gottes Geiste nichts anderes Sein, als ein Absurdum, wic ctwa cin vicrcckigcr Кгсіѕ»[169][170]. Впрочем, я коснусь впоследствии этого вопроса ввиду его важности подробнее.
II
Все сказанное до сих пор может показаться известным; оно, действительно, и не является характерным для Г. Кантора, смысл работ которого я хочу изложить, — не является характерным, так как это знали и до него. Однако я считал необходимым резко подчеркнуть основную разность актуальной и потенциальной бесконечностей, потому что весьма часто ее теряют из виду, а работы Кантора посвящены только первому роду бесконечности, собственной бесконечности‚ и, не заметив этого обстоятельства, мы были бы обречены на полное непонимание его идей.
По раскрытому выше определению актуальной бесконечности можно заключить, что такая бесконечность может быть мыслима в двух модификациях. Во–первых, будучи более всякого конечного quantum'a, она сама может оказаться не имеющей другого quantum'a, тоже бесконечного, который был бы больше ее; другими словами, тут она оказывается неспособной быть меньше чего‑либо другого. Это — актуальная бесконечность, неспособная к увеличению, абсолютный максимум; как вообще, так и у Кантора, он называется Absolutum[171]. Во–вторых, — и это не замечали говорившие о бесконечности, — из определения актуальной бесконечности вытекает возможность второго ее видоизменения. Актуальная бесконечность, именно, может тут иметь над собою другие quanta, большие ее самой; тогда она будет способна к увеличению, будет увеличиваемою актуальною бесконечностью. Чтобы избегнуть раз навсегда путаницы слов и длиннот, Кантор дает ей название сверхконечности‚ Ucbcrendlichkcit.