Страница 18 из 233
Другими словами, фактически данная прерывность заставляет Бюффона постулировать пополнение этого разрыва, до такой степени он глубоко верит во всеобщность legis continuitatis[112]; так было живо сознание непрерывности у переводчика Ньютоновской «теории флюксий»![113] После этого та же математическая идея быстро пустила корни в биологии и других областях естествознания и, претерпевая видоизменения, дала пышные цветы в виде учений Ляйелля[114] и Дарвина, через которые проникла с другой стороны в сознание общества и быстро вульгаризировалась до такой степени, что некоторые лица из широкой публики, видя между двумя формами третью промежуточную, не могли понять логического и принципиального различия этих форм и готовы серьезно, вроде того, как это в шутку делается на карикатурах, все производить от всего. В то же время идеи геологии и биологии, развиваясь в таком направлении, произвели воздействие на историю, психологию и социологию и т. д. В конце концов идея непрерывности овладела всеми дисциплинами от богословия до механики, и в наши дни многим кажется, что протестовать против нее — значит впасть в ересь.
Вполне естественно было ждать, что сама виновница такого соблазна, — математика, — с течением времени захочет исправить ту односторонность миросозерцания, которую она, хотя и непреднамеренно, вызвала в умах целых поколений. Если математика подчеркнула идею непрерывности и конкретизация этой идеи вызвала однобокость миросозерцания, а вместе с тем ряд мучительных диссонансов и даже глубоко фальшивых нот, то можно было ждать, что критика такой идеи уничтожит односторонность, если она незаконна, и санкционирует ее, если она необходима.
III
Действительно, критика эта не заставила себя долго ждать и была гуюизведена в 80–х годах XIX века — Георгом Кантором[115]. Этот математик–философ возвел идею непрерывности, вернее, то неопределенное представление о непрерывности, которое казалось какой‑то «непосредственной очевидностью», на степень точного понятия. Он дал определение непрерывности в своих ныне знаменитых словах, что «continuum есть связная и совершенная группа точек»[116]. Правда, в этом определении что ни слово, то — термин, на изъяснение которого надо потратить немало времени. Однако иного нельзя было и ждать, так как понятие непрерывного вовсе не есть что‑нибудь первоначальное и простое; оно по существу своему сложно. Во всяком случае, определение Кантора дало возможность критически отнестись к мировоззрению XIX века, а не догматически принимать его или отвергать, что волейневолей приходилось делать до появления его работ.
Если continuum, столь таинственный и неуловимый до тех пор, подводится под общее понятие группы (объединенного множества), которая только при весьма специальных определениях будет непрерывной, вообще же говоря, лишена этого свойства, — то, строя общее мировоззрение, мы не имеем никаких оснований останавливаться на «непрерывности» как на основном признаке бытия и всюду предвзято предполагать пресловутый Ісх continuitatis[117]. Наоборот, мы должны считать бытие, равно как и функциональные соотношения явлений, прерывными, пока не будет произведен пересмотр эмпирического материала, опытных данных, которые бы склонили нас к признанию того или другого специального вида прерывности, так как непрерывность только όλη а из бесчисленного множества модификаций прерывности. У нас нет никаких оснований ожидать, чтобы все явления оказались непрерывными; мало того, этокрайне невероятно, и, наоборот, есть чисто фактические данные, помимо ряда отвлеченных соображений доказывающие существование прерывности во многих сторонах действительности.
Помимо изучения групп, изучение ф у н к ц и й, т. е. связей между группами, тоже показало, что и здесь (это, впрочем, и быть не могло иначе) господствует прерывность и только при соединении очень хитрых и искусственных требований, налагающих множество условий на функцию, она окажется непрерывной. Теория групп — «молекулярная теория математических законов», по счастливому выражению Шйнфлиса[118], — достаточно уяснила внутреннюю структуру функций, и, будем ли мы говорить о том, что теория прерывных функций есть патология функций, а непрерывных — физиология, или наоборот, — мы не можем упускать из виду, что мощность[119] группы непрерывных функций, по известной теореме Бореля[120], есть С (где С — мощность continuum’a), тогда как мощность всех функций -Сс; причем С > С, потому что Шенфлис доказал, что вообще для трансфинитных мощностей (А) имеет место первенство: А > А. Итак, если кому угодно видеть в непрерывных функциях какое‑то «совершенство» и т. п., то это — его дело, хотя нельзя не заметить, что все совершенство непрерывных функций в большей изученности и большей легкости рассмотрения, подобно тому, как окружность изучать легче, чем эллипс, потому что на нее наложено более стеснения. Но считаться с фактическим преобладанием мощности прерывных функций и прерывных групп приходится всякому, даже если признать их за патологические явления.
IV
Здесь уместно указать еще на факты первой из реальных наук, — на факты геометрии. Многочисленные исследования пространства с этой стороны вполне выяснили, что даже в последней крепости непрерывного, даже в непрерывном по преимуществу, — пространстве, — на почве которого и была создана Зеноном и Парменидом идея непрерывного, — даже в геометрических образованиях находит себе место прерывность. Пространственные образы, вообще говоря, прерывны, и только весьма специальные условия привносят в них тот комплекс признаков, за которые мы имеем право называть эти образы непрерывными. Чем больше измерений у рассматриваемого вместилища геометрических образов, — чем свободнее раскидываются лепестки многообразий, тем неожиданней и ярче выступают внезапные скачки в разных свойствах этих образований. Однако даже на плоскости у кривых линий мы встречаем такое богатство оттенков в прерывности, что изучение их потребовало специальных работ.
Кантора, группою 2–го рода и как, наконец, кривая распадается, разлезается по всей плоскости в виде «плоского лоскутка[121]». Одним словом, можно уже в настоящее время рассмотреть дезинтеграцию кривой, разрушение полной ее непрерывности и тем сделать прерывность более удобно воспринимаемой, более убедительной психологически. «Психологически» потому, что логически требуется начинать с прерывности и потом подойти к непрерывности, как к частному случаю. Так и делается в сочинениях, где желают доказывать, а не убеждать.
«Если вообще, — говорит Dedekind[122], — пространство имеет реальное бытие, то ему нет надобности быть непрерывным. Бесчисленные его свойства оставались бы теми же, если бы оно было разрывным»[123]. Утверждение, что пространство непрерывно, — есть простое предположение. Реальное пространство мы считаем непрерывным по причине того, что в нем возможны непрерывные формы, например, непрерывные линии; а главным основанием обыкновенно представляется возможность в пространстве непрерывных движений точки, т. е. таких, что траектория точки является непрерывной кривой. Но существует одна замечательная, — «удивительная», по выражению Kerry,[124] — теорема Кантора, показывающая, что непрерывность пространства не является вовсе необходимым следствием непрерывности некоторых образований в нем. Теорема заключается в следующем: пусть имеется некоторый η–размерный continuum Gn и счетовая группа М, пантахическая[125] на всем протяжении Gn[126]. Тогда, отнимая от Gn группу М, мы получаем некоторый scmi‑continuum, полунепрерывную группу А, имеющую на всем своем протяжении пантахическую группу изъянов, перерывов. Однако А обладает тем свойством, что если η > 2, то любые точки N и Ν' группы А могут всегда быть соединены непрерывной и даже аналитической кривой, и притом бесчисленным множеством способов.
На этой кривой лежат только те точки, которые н е принадлежат к М, так что наша кривая обойдет (минует) все изъяны группы А. Кроме того, можно дать теоремы, аналогичные канторовской, но более широкие. Например, можно доказать, что если в η–размерном continuum’c Gn выделить счетовую всюду–плотную группу к–размерных континуумов Gk, где о < к <п — 2, то в оставшемся полу–континууме возможны непрерывные линии и непрерывные движения, и т. п. др.