Страница 54 из 82
Так излагает второе правило Декарта для удара Лейбниц (См.: Лейбниц Г.В. Соч. Т. 1. С. 205). Это не совсем совпадаете с формулировкой Декарта, однако, главный пункт критики остается все равно справедливым. Лейбниц критиковал этот вывод, аргументируя «от непрерывности». Превышение величины одного тела (можно считать массы, но понятие массы еще не известно физике XVII века)
над другим можно непрерывно уменьшать вплоть до нуля, при этом «в следствиях», т.е. в характере движения после удара, если верно правило Декарта, произойдет скачкообразное изменение: сначала большее тело сохраняет свое движение, а при равенстве тел вдруг резко меняет его на противоположное, что противоречит и принципу непрерывности и здравому смыслу, подчеркивает Лейбниц (Лейбниц Г.В. Соч. Т. 1. С. 206), и неверно[199] .
С помощью принципа же непрерывности доказывает Лейбниц, что существование атомов невозможно. (Там же. С. 263). Под атомом понимается конечное неделимое далее материальное тело. Но тогда оно должно быть абсолютно упругим, ибо иначе, если атом при ударе меняет форму, чтобы возникли силы упругости, — на манер упругих резиновых мячиков, — тогда эти силы упругости должны как-то объясняться (принцип достаточного основания!), т.е.
у атома предполагается некоторая структурность, т.е. части, взаимная подвижность частей и, следовательно, делимость. Но это противоречит нашему определению атома. Значит атомы абсолютно упруги. Но если так, то при ударе они должны мгновенно менять или направление движения, или величину скорости. Но это противоречит закону непрерывности. Значит, атомов не существует. Значит, делает вывод Лейбниц, «...
разделение тела может продолжаться до бесконечности» (Там же. С. 264). Многообразны применения принципа непрерывности в лейбницевской математике. И опять, главное направление этих приложений — конструктивное, принцип непрерывности служит теми «лесами», с помощью которых строятся новые области исследований, новые объекты. С помощью принципа непрерывности Лейбниц обосновывает новый тип классификации кривых, когда «...
в геометрии случай эллипса непрерывно изменяясь, приближается к случаю параболы по мере того, как при одном фокусе, остающемся в неподвижности, второй фокус отодвигается на бесконечное расстояние и эллипс не перейдет в параболу. Поэтому все правила эллипса с необходимостью подтверждаются и для параболы (принимаемой за эллипс, второй фокус которой бесконечно удален)» (Там же. С. 265).
Этот тип классификации соответствует построению проективной геометрии. Проективная геометрия рождается в XVI I веке в основном благодаря трудам Ж.Дезарга и Б.Паскаля. Хотя Лейбниц не совершил в этой области значительных математических открытий, но его понимание «проективной идеологии» в геометрии было, благодаря его философскому горизонту, может быть даже более глубоким, чем у самых создателей дисциплины.
Объединение эллипса и параболы в один род позволяет давать унифицированные доказательства. Например, известное свойство эллипса: лучи света, выходящие из одного фокуса эллипса, после отражения от кривой собираются в другом фокусе, переносится и на параболу. Но здесь это уже дает новый нетривиальный результат: лучи света, выходящие из фокуса параболы, после отражения от кривой стремятся к другому фокусу, т.е.
«на бесконечность», что означает, что эти лучи будут параллельны («параболический прожектор») (Подробнее см.: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М., 1993. Гл. 3.). Решающим для возникновения новоевропейской науки фактом является изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц внес существенный вклад в разработку этой новой математической области.
Но интересно, что обоснования инфинитезимальных построений Лейбниц искал именно через использование своих архитектонических принципов. Лейбниц, как человек достаточно искушенный в истории философии и логики ясно видел, что принимать окружность за бесконечноутольный многоугольник с бесконечно малыми сторонами значило нарушать классические положения аристотелевской логики, значило обрывать связь с традицией античной математики.
Умозаключать от конечного к бесконечному значило совершать μετάβασις είς άλλο γένος , процедуру, запрещенную традицией. Лейбниц не мог молчаливо пройти мимо этого факта. Предельный переход требовал своего обоснования. И это обоснование Лейбниц формулировал в терминах принципа непрерывности: «...
Хотя, строго говоря, и неверно, что покой есть род движения или что равенство есть род неравенства, равно как неверно и то, что круг есть род правильного многоугольника, но, тем не менее, можно сказать, что покой, равенство и круг заканчивают движения, неравенства и правильные многоугольники, которые переходят в них, исчезая в непрерывном изменении. И хотя эти концы исключены, т.е.
не принадлежат, строго говоря, к ограничиваемым ими многообразиям, они все же имеют свойства последних, как если бы они к ним принадлежали; так на языке бесконечных или бесконечно малых величин говорят, например, что круг есть правильный многоугольник с бесконечным числом сторон. В противном случае был бы нарушен закон непрерывности, т.е. поскольку от многоугольников переходят к кругу посредством непрерывного изменения и без скачка, постольку не должно быть скачка и в переходе от свойств многоугольников к свойству круга» (
Избранные страницы из математических сочинений Лейбница Состав. и перев. А. П. Юшкевич //Успехи математических наук. 1948. Т.III , Вып.1 (23). С.196). Лейбниц вводит в математику бесконечно малые величины и строит их исчисление. Но бесконечно малые величины никто никогда не видел и не может увидеть. Поэтому использование их всегда связано с постулированием некоторых новых положений, новых принципов.
Отчасти Лейбниц использовал принцип непрерывности, отчасти же другое положение, близкое к принципу непрерывности. В своей книге о философских началах новоевропейской математики я называю этот принцип принципом законопостоянства (см.: Катасонов В.Н. Цит. соч. Гл. II). В переписке с королевой Пруссии Софией — Шарлоттой это начало названо «главнейшим принципом природы»: «Принцип этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь.
Иными словами, природа единообразна в том, что касается сути вещей, хотя и допускает разницу степеней большего и меньшего, а также степеней совершенства» (Лейбниц Г.В. Соч. Т. З.С. 389). С помощью принципа законопостоянства Лейбниц осуществляет сравнение конечного треугольника и бесконечномалого («характеристического») треугольника, используемого при построении касательной.
Эти два треугольника, разделенные бесконечностью, оказываются одинаковыми по форме (подобными). Свойства вещей повсюду — включая и сферу бесконечномалого! — остаются такими же как «сейчас и здесь»... И опять принцип законопостоянства используется здесь как регулятивный, конструктивный принцип. Он позволяет перенести свойства конечных вещей в «бесконечноудаленную» сферу бесконечномалого (
С другой стороны, инфинитезимальные построения находились в полной гармонии и с лейбницевской монадологией. См.: Катасонов В.Н. Цит. соч. Гл. II). Принцип законопостоянства определенным образом подчинен принципу достаточного основания. При всем своем многообразии вселенная едина. И ее фундаментальные принципы верны во всех ее областях одинаково, включая и бесконечномалые.
Единство сотворенной вселенной не дает оснований для необозримо бесконечных различий. Лейбниц специально подчеркивал, что мировые закономерности являются отражением Логоса Божественного: «...Можно вообще сказать, что всякая непрерывность есть нечто идеальное и что в природе нет ничего, что обладало бы совершенно однородными частями. Но зато реальное полностью управляется идеальным и абстрактным и оказывается, что правила конечного сохраняют силу и в бесконечном, как если бы существовали атомы, хотя они вовсе не существуют...
и, наоборот, правила бесконечного сохраняют силу в конечном, как если бы имелись метафизические бесконечномалые, хотя в них нет нужды и хотя деление материи никогда не приходит к бесконечно малым частицам. Это объясняется тем, что все управляется разумом и что иначе совсем не было бы ни науки, ни правила, а это не согласовалось бы с природой Высшего начала» (