Страница 38 из 82
Метод должен давать исчерпывающую полноту познаний в изучаемой областии и, значит, определять границу доступного познанию, выявляя непостижимое для нас в принципе. Декарт строит свой метод предполагая определенную антропологию, точнее говоря, определенную экономию человеческих способностей. Основополагающими для метода являются две: интуиция и дискурсия.
Интуиция дает возможность непосредственно опознавать реальность фундаментальных сущностей, которые»заключают в себе... чистую и простую природу»[176] (независимое, причина, простое, подобное, прямое и т. д.), а также опознавать истинность(или ложность) простейших(в том числе, базовых) положений. Подобные сущности и положения называются абсолютными.
Однако не все вещи и не всякое утверждение может быть сразу опознано интуицией. Эти вторичные или относительные сущности следует связывать с абсолютными с помощью специальных упрощающих цепей логических рассуждений. Для этого и служит способность дискурсии. Для удостоверения в полноте рассмотрения какого-то вопроса выделяется также особая способность энумерации.
Собственно, суть метода Декарта и состоит в систематическом, методически упорядоченном сведении сложного к простому(относительного к абсолютному). Применяя этод метод, являющийся выражением самой структуры познавательной способности, мы, согласно Декарту, получим все истины, доступные разуму человека. Отвлечемся на время от общефилософских проблем метода.
Как мы уже отмечали, значение Декарта как мыслителя так сказать удваивается, в связи с тем, что он дал конкретно-научные приложения своей философской гносеологической программы. Так, Рассуждение о методе выходит в 1637 году вместе с приложениями, обсуждающими специальные физические и математические вопросы: Диоптрика, Метеоры, Геометрия. Геометрия выступает как применение декартовского метода в математике.
В этой работе Декарт дает многочисленные примеры эффективного применения алгебры к решению геометрических задач. Само по себе это не было откровением для европейской математики XVII века. Весь XVI век проходит под знаком настойчивых поисков удобной алгебраической символики, которая позволила бы создать некое исчисление для решения геометрических(и нетолько)задач(К.Рудольф, М.Штифель, Р.Бомбелли, П.Рамус, С.Стевин, Ф.Виет и др.).
В 80-х годах XVI века Джордано Бруно защищает в Сорбонне свой платонизированный вариант универсального исчисления. Сама эта традиция восходит еще к тому образу математики, который культивировался в древних цивилизациях Египта, Вавилона, Индии. Здесь математическое знание выступает, в основном, не как совокупность теорем, а как набор определенных алгоритмов, позволяющих решать те или иные задачи.
В арабской средневековой математике этот подход начинает приобретать вид некоторого исчисления, прообраза нашей алгебры. Западная Европа воспринимает традицию античной математики через арабов, именно с этой алгебраической прививкой.[177] То новое, что сделал Декарт в своей Геометрии, есть систематическое сведение задач геометрии к алгебре.
Декарт дает общую схему решения задач геометрии с помощью алгебраических уравнений и утверждает, что те задачи, которые не могут быть решены предлагаемым методом — не могут быть решены вообще, не принадлежат сфере точного знания. Вспомним общую идею декартовского подхода: ГЕОМЕТРИЯ Задача Решение АЛГЕБРА Уравнение I Уравнение II Решение геометрической задачи(горизонтальная стрелка)
достигается посредством сведения геометрической задачи к уравнению(стрелка вниз к Уравнению I), преобразования уравнения к простейшей форме — решение уравнения(двойная стрелка к Уравнению II), и интерпретации этого решения в геометрических терминах(стрелка вверх от Уравнения II к Решению). Тем самым, как бы все множество геометрических задач отображается на множество уравнений и чисто алгебраических проблем, связанных с их решениями.
Декарт, повторяем, не только дал примеры эффективного применения этого метода, но и объяснил его общие моменты:как составлять уравнение, как сводить одни уравнения к другим, более низкого порядка, как интерпретировать простейшие уравнения и т.д. Существенной предпосылкой метода было систематическое проведение метрической точки зрения:отрезки определялись их длиной, точки — их расстояниями до фиксированных прямых («декартовы координаты»).
С этой стороны, метод представлял собой определенное исчисление отрезков, аналогичное арифметическому исчислению для чисел(с установления этой аналогии и начинается Геометрия Декарта). Эти аналогии были известны, конечно, еще математикам античности. Но никто на этом основании не дерзал сближать арифметику и геометрию. Для античной науки геометрия имела особый гносеологический статус, более низкий по отношению к арифметике.
Причины этого лежали в античной философии математики:арифметика оперирует числом, более интеллектуальной сущностью, чем предмет геометрии — пространство. Декарт объединяет арифметику и геометрию в общую науку на основании операционального сходства их предметов. Эта более общая наука, занимающаяся уже не только числом или протяженностью, а свойствами операций над ними и называется алгеброй.
Алгебра в этом смысле выступает как абстрактная алгебра, как наука, систематически изучающая не некии реальности, а отдельные выделенные свойства этих реальностей, безотносительно к целостности последних. Популярность декартовского метода в XVII столетии, в целом, неизменно возрастала. Простота и эффективность метода(но лишь для некоторого класса задач!) обеспечили ему много защитников.
Однако, отнюдь не все ученые соглашались с естественностью этого метода, с тем, что он выражает саму природу геометрического знания. Здесь характерна позиция И.Ньютона. Ньютон сам виртуозно владел методом аналитической геометрии, о чем ярко свидетельствуют его физико-математические сочинения. Однако Ньютон не считал, что алгебраические методы адекватно выражают природу геометрии.
Ньютон, вообще, говорил, что «алгебра — это анализ сапожников в математике». Чтобы понять суть возражений Ньютона, рассмотрим один пример. Пусть, нужно доказать теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Обычно для доказательства теоремы делают дополнительные построения:продолжают АВ, откладывают BD=ВС, соединяют D с С: АМ АВ МС ВС Рассматривая некоторые углы этой конфигурации делают вывод о параллельности ВМ и DC, а из параллельности легко получается искомое соотношение.
Понятно, что подобное доказательство невозможно получить с помощью метода аналитической геометрии. Невозможно просто потому, что метод не позволяет получать какие-то дополнительные построения:метод просто вычисляет. Обычный, то есть практиковавшийся с античности метод в геометрии(в противовес методу аналитической геометрии его называют синтетическим)
оставляет место возможности новых подходов — проведению новых линий и усмотрению новых соотношений. Метод же Декарта скрывает все это богатство интуитивных возможностей за формализмом алгебраических уравнений. Чуткие умы почувствовали это уже в XVII веке. Ньютон, оспаривая претензии декартовского метода на универсальную значимость, писал:»Уравнения суть выражения арифметических вычислений, и они, собственно говоря, не имеют места в геометрии...
Умножения, деления и тому подобные вычисления введены были в геометрию недавно и при этом неосторожно и в противоречии с основной целью этой науки. Всякий, кто рассмотрит построение задачи с помощью прямой и круга, найденные первыми геометрами, легко увидит, что геометрия была изобретена для того, чтобы мы, проводя линии, могли с удобством избегать утомительных вычислений.
Поэтому не следует смешивать эти две науки. Древние столь тщательно отличали их друг от друга, что никогда не вводили в геометрию арифметические термины. Современные учения, смешивая обе науки, утратили простоту, в которой состоит све изящество геометрии. Арифметически проще то, что определяется при помощи более простых уравнений, геометрически же проще то, что определяется при помощи более простого проведения линий;и в геометрии следует считать лучшим то, что наиболее просто с геометрической точки зрения»[178] .