Страница 14 из 104
6) Подходим к последнему аргументу этой главы XIII 7. Тройка во всяком случае должна быть больше двойки. Пусть это есть идеальное число. Все равно тройка больше двойки, и двойка входит в тройку. Но это значит, что двойка, входящая в тройку, и двойка сама по себе — одно и то же. Если же это не так, то лучше тогда просто не говорить о числах. Тогда получится идея, а не число. В отношении идей действительно нельзя говорить о «первом» или «втором», ибо все идеи суть индивидуально неповторимые единства, данные совершенно сразу и одновременно. Тут не будет уже никакого «раньше» или «позже», никакой счетности, никакого «прибавления» по единице. Числа будут самыми настоящими идеями, и больше ничего. Но раз числа суть именно числа, хотя бы и идеальные, они всегда счетны и всегда счислимы через «прибавление» (1082b 19—33). — Этот аргумент есть своеобразная комбинация аргументов № 1 и 3. Из аргумента № 1 взята мысль, что меньшее число, входящее в большее, должно было бы разрушить однородную счислимость в большем числе. Из аргумента № 3 взята мысль, что идеальные числа суть, собственно говоря, не числа, а идеи. Отличие этого аргумента от первого и третьего заключается в том, что он не есть имманентная критика платонической теории чисел, но дает совершенно новую платформу для рассмотрения всего вопроса. Эта платформа есть учение о «прибавлении», т. е. о чистой и абсолютной счислимости.
С этой точки зрения Аристотель и рассматривает здесь противоречие между внутри–числовой счислимостью и между–числовой несчислимостью, а также противоречие между понятиями «идеи» и «числа».
Таковы шесть аргументов, приведенных Аристотелем против теории прерывной счислимости чисел. Чтобы не оставить их в сыром виде, необходимо их тщательно сравнить один с другим и, если возможно, объединить под одной идеей. Внимательно всматриваясь в них, мы замечаем, что сделать это не так трудно.
b) Прежде всего, аргумент № 4, как мы уже заметили, есть не больше как вариация аргумента № 1. В последнем говорилось, что более мелкие числа, будучи отличены в более крупных числах, превращают их в разнокачественные и лишают их внутренней однородности. Аргумент же № 4 говорит, что сделать это и невозможно, так как существуют только абсолютно однородные числа. Далее, аргумент № 6 есть также не более как вариация аргумента № 3 и даже аргумента № 1. В № 3 утверждается, что идея, распадаясь на идеи, не может превратиться в числа и что поэтому то, что происходит из Единого и Неопределенной Двоицы как идей, не может быть числами. Аргумент же № 6 устанавливает, что это и невозможно, так как числа происходят не путем «порождения» из идей, но путем «прибавления» по единице. Аргумент № 2 имеет более общее значение и высказывает то, чем не может быть отношение между идеальным и арифметическим числом. Наконец, аргумент № 5 аналогичен аргументам № 1 и 4 в том отношении, что тоже констатирует возможность внесения в число, с точки зрения самих же платоников, разнокачественности и несчислимости. Таким образом, основными аргументами остаются № 1 и 3. Первый гласит, что несчислимые числа обязательно входят в каждое число уже по одному тому, что каждое большее число состоит из суммы меньших.
Другой же аргумент утверждает, что несчислимые числа находятся между собою, собственно говоря, не в числовом отношении, но в идеальном. Ясно, что эти два аргумента также могут быть сведены к одному. Платоники утверждали, что между–число–вая несчислимость нисколько не мешает существованию внутри–числовой счислимости. Аристотель же доказывает, что если проводить последовательно платоническую точку зрения, то необходимо говорить об абсолютной несчислимости, что и есть на самом деле уничтожение самой природы числа и замена числовых отношений идейно–логическими; если же стать на его, Аристотеля, точку зрения, то нужно говорить об абсолютной счислимости и отказаться от самого намерения признавать какие–нибудь иные числа, кроме арифметических.
Итак, основным возражением Аристотеля является упрек в замене числового принципа логическим и идейным (№ 3 и 6); отсюда вытекает немыслимое для Аристотеля внесение разнокачественности в самую структуру числа (№ 1, 4 и 5); и, наконец, результатом этого оказывается, что от обыкновенных арифметических чисел нет совершенно никакого перехода к числам идеальным (№ 2).
12. ОБОБЩЕНИЕ ОБЕИХ КРИТИК
На этом Аристотель заканчивает свою критику несчислимости чисел, с тем чтобы в дальнейшем перейти к критике еще иных концепций Однако, прежде чем последовать в этом за ним, попробуем сравнить два основных отдела критики несчислимости чисел. Аристотель, как мы помним, сначала критиковал абсолютную несчислимость, потом перешел к прерывной счислимости. В первом случае его критика, если мы припомним, сводилась к указанию того, что уже самое оперирование принципами структуры несчислимого числа предполагает использование чисто количественной точки зрения, чисто арифметической раздельности. Нельзя построить самую структуру числа, говорил там Аристотель, без того, чтобы не воспользоваться однородной счисли–мостью чисто арифметического числа. И это он показывал как на принципах структуры числа, так и на результате этой структуры — на самих числах. Теперь в критике прерывной счислимости, как мы видим, он упрекает Платона в замене числового принципа идейным и в вытекающей отсюда внутренней разнокачественности числа. Нельзя ли как–нибудь объединить эти два основных аргумента против двух основных типов несчислимости и нельзя ли вывести их из единого принципа?
а) Я думаю, что это возможно сделать, если мы пожелаем тщательно проанализировать сравнительное значение того и другого. Мне кажется, что второй аргумент, т. е. вся критика прерывной счислимости, представляет собою лишь развитие первого аргумента, главным же образом его третьего аспекта. Вспомним: в этом третьем аспекте первой критики Аристотель ставил перед Платоном дилемму абсолютной несчислимости чисел и невозможности счета, с одной стороны, и, с другой — возможности счета и невозможности происхождения чисел из Единого и Неопределенной Двоицы, т. е. из идей. Это, кажется, та же самая дилемма, которую развивает Аристотель и в аргументах № 3 и 6 в критике прерывной счислимости. Но этот аргумент есть лишь третий аспект более общего принципа, а именно возражения относительно имплицитного использования арифметической счислимости в оперировании с логической структурой числа. Значит, и вся критика прерывной счислимости основывается все на том же аргументе об имманентной свойственности счислимого числа самой его структуре. Отсюда всю вообще аристотелевскую критику несчислимых чисел можно изобразить в следующем виде.
1. Несчислимое (так или иначе) число есть нечто, т. е. нечто одно. Состоит оно из чего–то, т. е. по крайней мере из чего–то одного или двух. Стало быть, самая структура его уже предполагает в себе чисто арифметическую счет–ность и абсолютное взаимное безразличие единиц. Так, Платон производит числа из Единого и Неопределенной Двоицы. Но эти принципы суть, конечно, нечто, а именно их тут два. Кроме того, Двоица, отличаясь от Единицы, уже не может быть просто единицей. Она сама по себе есть некое «два». Значит, начиная производить числа из Единицы и Неопределенной Двоицы, мы уже оперируем по крайней мере с двойкой или тройкой в чисто арифметическом, т. е. в чисто счислимом, смысле. Итак, абсолютная несчислимость — немыслима.
2. Не только каждый принцип из тех, которые лежат в основе числа, но и их результат также предполагает арифметическую счислимость. Можно закрыть на это глаза, но тогда мы останемся в области чисто логических операций и никогда не выявим специфическую природу именно числа. Если же не закрывать глаза на это, то станет ясным, что мы уже с самого начала имеем число, вывести которое только еще собираемся. Это также опровергает абсолютную несчислимость. Но это дает и нечто большее. Именно, раз уже каждое число требует арифметической счислимости, то невозможен такой ряд чисел, который бы был сам по себе несчислим, а отдельные числа в нем были бы внутри себя счислимы. Другими словами, этим опровергается и прерывная счислимость.