Работы 1909-1933 гг.

В XVII веке Паскаль издевался над Кавалером де Мерэ, который, как нематематик, не понимал понятия непрерывности и мнил линию состоящей из точек; в XVII веке о такой наивности можно было сообщать, не утруждая себя доказательствами и ограничившись одной усмешкой. Но в XIX веке мы видим бесчисленные попытки, замышленные первоначально, по–видимому, в Гербертовской школе и глубокомысленно разработанные Риманом, — породить пространство движением точки. Продвигаясь, точка дает многообразие одномерное — линию; линия своим движением дает многообразие двухмерное — поверхность; движение поверхности приводит к трехмерному многообразию — пространству; это последнее ложится в основу пространства четырехмерного и т. д. Различный характер этих движений имеет следствием, по мысли Римана, различное строение пространств того или другого числа измерений — различную их кривизну в каждом месте. Римановское построение сделалось общепринятым. Но какие бы утонченности ни вносились в него, никогда они не могли скрыть той основной концепции, что пространственные образования, самое пространство, самые пространства суть точечные многообразия. Иначе говоря, в математике, а из нее в философии укоренилось понимание пространства как состоящего из точек, а самые точки уже не могли пониматься как единицы, имеющие положение.

Но с этим «положением» дело обстояло и обстоит скверно, поскольку принято делать вид, будто оно, в конечном счете оказывающееся чисто пространственным, может в самом деле быть определено помимо пространства: ведь эти точки–единицы не имеют между собой никакой качественной разницы и, следовательно, или должны слиться в нашем сознании в одну точку, или получить пространственное различение. Вполне в упор взял концепцию о пространстве из точек как единиц Георг Кантор [1940]* По Кантору, все рассматривается как множество — мысленно объединяемых в единый объект — совокупностей вполне различных между собой, индивидуально очерченных элементов, которые в процессе отвлечения дают единицы, тогда как самое множество — общее понятие числа количественного и порядкового. Хотя и вынужденный расширить натуральный числовой ряд за конечные пределы и создать трансфинитные числа и типы порядка, Кантор, однако, не расстается с древним основоположением, что «все есть множество — πολλά έστι τά οντα», как Зенон формулировал учение пифагорейцев,

19 П. Флоренский, т. 2

или с пифагорейским «вещи суть числа»; и не только не расстается, но именно ради того и придумывает трансфинитные числа, чтобы иметь право всегда говорить, что все есть число. Ударным же центром его усилий, истинным смыслом его работ было: понять непрерывное как род дискретного, составить сплошное из точек и выразить потребное к тому множество — числом. Работы Кантора и его последователей над проблемой континуума вызвали к жизни целую систему тонко отшлифованных понятий, безмерно ценных в самых разных отношениях; исследование соприкосновенных с континуумом понятий подвинулось вперед за три десятилетия, вероятно, более, чем за три тысячелетия до того. Но основная задача — логическая конструкция континуума к точкам–единицам и устранение среды, в которой эти точки имеют положение, — продолжает стоять как раз на том самом месте, где она была до Пифагора: континуум удается построить лишь на фоне подразумеваемой интуиции сплошного, а когда эта интуиция честно изгоняется вон, то и никакого континуума не получается. Да и понятно, когда мы не имеем способности созерцать hiatus, пробел между точками, усматриваемый только созерцательно, мы не можем и строить континуума, ибо не знаем, имеет ли пробелы то, что мы построили, или «связано», как выражается Кантор; континуум и лжеконтинуум на наш только логический вкус ничем не отличается.

Впрочем, интуиция континуума и более глубоко проникает в состав всякого точечного множества (Punktmannigfaltigkeit, Punktmenge), ибо самое различение точек как точек пространства возможно только на фоне этого пространства, а если бы мы в самом деле взяли их, не имеющих никаких количественных различий и отличающихся друг от друга только положением в пространстве, вне пространства, то они перестали бы различаться между собой и необходимо слились бы, ибо пространство именно есть их principium individuationis[1941]*. Но это — возражение по существу, а исторически несомненно мы находимся на гребне волны канторианства; этому кругу понятий принадлежит в математике ближайшее будущее. К тому же намечавшееся еще от Бос- ковича и Фарадея представление о материи как системе силовых центров, по–видимому, имеет в скором времени слиться с Канторовским пониманием пространства, и мы, после того как эфир растворился в пространстве, а пространство сделалось родом эфира, весьма недалеки от отождествления точечных первоэлементов пространства, точнее, пространства — времени с первоосновой материи.

Но это развитие и укрепление одной стороны антиномии. Однако параллельно ей растет и укрепляется другая — отрицание точечных элементов и провозглашение реальностью — сплошного. Таковы именно бергсо- нианство и течения, к нему примыкающие. Время, сплошная длительность и пространство подлинно реальны, а множественность в них — это отвлеченные фикции, примысел к реальности, «мнение — δόξαкак сказали бы Элейцы. И, следовательно, тут снова мысль возвращается к евклидовскому пониманию, по которому точка дается лишь как отрицание пространства — времени, как ничто, как нуль, как «призрак исчезнувшей величины».

Если пифагорейское понимание точки видит в ней единицу, то по евклидовскому — она должна быть понимаема как ничто. Отсюда понятно двойственное значение точки или ряда точек в графической символике областей разнообразнейших, когда точка или точки имеют в виду либо отметить единство, неделимость, не- расплескиваемость и относительную самодовлеемость некоторого объекта, либо, напротив, — отсутствие объекта, отрицательно–экзистенциальное суждение о нем. В первом смысле точка есть символ единицы, как, например, бусы счетов, счетные марки, зарубки бирок, точечки, ставимые в процессе счета каких‑нибудь вещей, многоточия в математических формулах, например в рядах, имеющие указать, что ранее отмеченными членами дело не ограничивается, но что имеются еще аналогичные члены, каждый из которых, как некая мысленная единица, обозначен одной точкой; синтаксически многоточие опять имеет смысл не тот, что у начатой фразы нет конца, а, напротив, тот, что такой конец есть, и наличие в уме говорящего ряда последующих слов, как некоторых языковых единиц, поставленными точками заверяется; эти точки–единицы представительствуют за слова и в любой момент могли бы быть реализованы.

Но как раз с обратным значением ставятся точки, например, в оглавлениях книг, в счетах или счетных книгах, в ин- вентарях: точками указывается здесь отсутствие некоторых объектов, ими наглядно осуществляется пустота, пробел или внушается мысль, что если в данном месте те или другие знаки, цифры, буквы, слова и т. п.

Такая точка, символ отсутствия, естественно, получила в цифровой системе индусских и арабских цифр, в свой черед происшедших, вероятно, из цифр древнегреческих, значение арифметического нуля. Наша же современная цифра нуль 0, как известно, возрастала с течением веков, а первоначально писалась в виде совсем маленького кружочка, впрочем, и доныне в шрифтах иностранных 0 нередко имеет размеры, меньшие против цифр, и круглую форму. Этот древний 0, по указанию историков математики, есть сведение в один знак графического символа точки и буквенной инициального омикрон, 0, от слова ουδέν — ничто.

Единица и нуль, как значения точки, суть пределы; но можно использовать точку и как стремящегося к этим пределам, тогда она понимается как дифференциал, и притом дифференциал в двояком смысле: либо как «дух возникающей величины», когеновское Ursprung[1942]*, кирпичик, из которого строится величина, как пользуются обычно понятием дифференциала в математическом естествознании; тут дифференциал имеет тайную наклонность сближаться в мысли (несмотря на все заверения в противном со стороны теоретиков) с актуально бесконечно малым; в этом смысле своем он есть некая единица, и не без причины дифференциалы Лейбница были родными братьями его монад, уже заведомых единиц. Либо точка получает смысл «духа исчезнувшей величины», точнее, исчезающей и тогда есть своего рода нуль: это — Ньютоновский флюксий, которые и обозначались‑то, кстати сказать, у Ньютона точкою, поставленной над буквенным символом соответственной величины. Не случайно, конечно, и различие пониманий пространства у обоих основателей инфинитезимального исчисления: истинная реальность, по Лейбницу, — это точки–монады, метафизические точки — points metaphy- siques или субстанциальные точки — points de substance, среда же, пространство есть не что иное, как ordo rerum, порядок сосуществования вещей, то есть нечто производное.