Страница 201 из 252
498
Слышал от покойного на его лекциях-беседах. В печати этот термин появляется, кажется, впервые.
499
См. прим. 27 к с. 78. — 289.
500
Можно видеть и непосредственно, что порода ax более породы x2m (или вообще xb), как бы ни было велико m. В самом деле: разлагая ax по строке Маклорена, имеем:
ax=1+lalx+l2a2lx2+l3a3lx2+l2a3lx3+l4a4lx4+…+l2ma2mlx2m+…+l2m+na(2m+n)lx2m+n+…+ и т.д.,
где la есть натуральный логарифм от а, а l2a ‚ l3a … и т. д. — степени его. Отсюда следует, что написанный ряд состоит из бесконечного агрегата функций, подобных y3, но с тою только разницею, что при степенях x есть некоторые коэффициенты, и что степени X идут все возрастая. Поэтому, как бы ни было велико 2m — показатель степени итерированной m раз функции степенной x2, всегда можно найти в написанном агрегате степеней такой член, у которого показатель степени (2m+n) больше, нежели 2m. Отсюда следует, что, как бы ни был велик порядок великости x2m, всегда в числе слагаемых (элементов) ax найдутся такие, порядок которых еще больше, т. е. тип возрастания axпревосходит тип всякой функции x2 и, следовательно, ax является функцией с бесконечностью высшей породы, трансцендентной для бесконечности функции x2.
501
Вл. Даль. «Пословицы русского народа». Изд. третье. 1904, СПБ и М. Т. 5, стр. 21-31
502
См. прим. 127 к с. 124. — 291.
503
Считаем неуместным приводить здесь математическую литературу по данному вопросу, т. к. это заняло бы без нужды слишком много места. Указания по ней можно найти у Шснфлисса в Encyklopadie der mathematischcn Wissenschaftcn, редактируемой Мейером, Буркгардтом и др. (см. II Лііз, I А5п и др.). Особенно, см. Mathemat. Лппаіеп, 8 (1875), р. 363 и 11 (1877), р. 149, где помещены статьи дю Буа Реймон а. Суммарное изложение у Б о ре л я (Ьсҫопѕ sur la thdorie dcs fonctions, pp. 111–122). Маленькая заметка на ту же тему помещена Борелем в Revue philosophique, XL ѴШ, 1899, pp. 383–390. (A propos de Г«іпГілі nouveau».) См. также: Ε. Borel, Ьеҫопѕ sur lcs sdncs a tcrmes positifs. Читатель, знакомый с литературой предмета, заметит, что мы несколько расширяем понятие о типе и, вместе с тем, смысл дю–буа–реймоновской теоремы; в то же время упрощается ход доказательства.
504
Например: сложение — вычитанием, умножение — делением, потенцирование (возведение в степень) — радицированием (извлечением корня) и т. п.
505
Метод, широко использованный в современной основополо- жительной математике, например в теории групп, в теории функций, в теории чисел и т. д.
506
По недостатку места на черт. 1 изображен только кусок оси О У. Начало координат О не поместилось в пределах чертежа, равно как и точки а и b.
507
Читатель, конечно, заметит и поставит на вид странное, как будто, упущение: в статье говорится о духовном развитии, о святости, о совершенствовании и, вместе с тем, как будто нарочно замалчивается та область, где эти понятия играют первенствующую роль, — Библия и свято–отеческие писания. Объяснимся. Две причины не позволили воспользоваться тут этим материалом, расстилающимся пред работником мысли как целина, не познавшая еще плуга отвлеченной обработки. Во–первых, этот материал слишком обширен, чтобы его вместили размеры статьи, и слишком ценен, чтобы можно было небрежно вырвать из него две–три данные. Во–вторых, и главным образом, в указанных источниках типы возрастания рассматриваются динамически, в возникновении их, и рассмотрение их связывается с ниспосылаемой благодатью; мы же, в настоящей статье, имеем дело со статикой типов, с данными в наличной действительности неравенствами типов и рассматриваем самые типы и их неравенства, но не причину того и другого. Отсюда делается понятным, что библейские и святоотеческие свидетельства наиболее уместно будет разобрать при изучении динамики разбираемых нами типов, т. е. в статье «О возрастании типов». Кроме того, Библия и святые отцы большею частью предполагали готовые религиозные идеи, догматически идя от Бога к человеку. Цель же наших статей — пропедевтическая, и потому ход мысли критический — от человека к Богу.
Это еще раз показывает, что сейчас было бы неудобно пользоваться названными свидетельствами.
508
Мф 5, 6. Эти слова включены в Литургию: их поет хор во время Малого входа. — 300.
509
Флоренский резко отрицательно относился к распространившимся в России оккультически-магическим движениям, литературу которых, как писал он, «едва ли у кого будет охота перечитывать» (Флоренский П. А. Отзыв о канд. соч. студента LXVI курса МДА М. Семенова «Типы современных оккультических движений в России»//Богословский вестник. 1912. Т. I. № 3. С. 326). «Большинство исследователей не отдает себе отчета, что оккультическая мистика вовсе не есть только учение, а есть прежде всего деяние, действо, практика; теория же вырастает уже на почве практики. Вот почему, будучи слабой и ничтожной в своем учении, этого рода мистика заразительна, сильна и опасна как непосредственное переживание» (Там же. С. 327). Магия — понятие многозначное у Флоренского: в это понятие он вкладывал смысл, отличный от общепринятого. Магическим будет «всякое воздействие воли на органы тела»; «...граница тела может суживаться, почти до исключения из тела большей части его объема, а может и расширяться неопределенно далеко. Магия, в этом отношении, могла бы быть определенной как искусство смещать границу тела против обычного ее места» (Флоренский П. Л. Органопроекция//Декоративное искусство СССР. 1969. N° 12. С. 40).
В таком предельно широком понимании элементы магии, как орудия воздействия, есть во всякой деятельности человека: сакральной (имена), мировоззренческой (термины, понятия), хозяйственной (орудия техники), художественной (звуковые и зрительные образования). — 301.
510
Это предположение чисто–формальное, для пояснения мысли; реального же смысла пока мы не можем видеть в нем.
511
Поясним это аналогией биологического развития. «Роды» и «виды» в биологии несколько напоминают породы и порядки бесконечностей в математике. Особи разных «родов» или разных «видов» в своем онтогенез и се (развитие особи) повторяют фазы филогенезиса (развитие рода) и потому до известного момента своей утробной жизни оказываются неразличными; пути их развития до поры до времени идут вместе. Только впоследствии они расходятся между собою все более и более, устремляясь к совершенно различным целям, подобно кривым ψ1, ψ2, ψ3, …, ψn и т. д. (§ III), причем одни пути идут совместно на более долгом протяжении, другие — на менее долгом. Но мало того; в то время как месячный котенок живет уже более или менее самостоятельною жизнью, параллельно ему развивавшийся ребенок все еще остается не родившимся куском мяса. Λ когда ребенок родился и беспомощно и безмысленно копошится в пеленках, котенок готов уже превратиться в кошку. Но проходят годы, и выросший ребенок превращается в организм, неизмеримо превосходящий кошку.
512
Данного места у Гейне найти не удалось. — 302.
513
Томас Карлейль (1795—1881) — английский философ и писа-тель. — 303.
514
Исторические и критические опыты Томаса Карлейля. Пер. с англ. Μ. 1878; стр. 348. Из статьи *Р о б е ρ τ Берне».
515
Случай после посещения папской капеллы. [См. Карпентера «Физиология ума».].
516
Приводимая здесь первоначальная редакция стихотворения М. Ю. Лермонтова вписана им 4 сентября 1839 г. в альбом М. А. Бартеневой (Лермонтов М. Ю. Собр. соч. Т. I. М., 1964. С. 575). — 304.
517
Строфа из стихотворения В. Я. Брюсова «Одиночество» (1903). Брюсов Валерий. Urbi et Orbi. Стихи 1900—1903 гг. Μ., 1903. С. 93.— 305.
518
Из стихотворения А. Белого «Образ вечности», посвященного Бетховену. Впервые опубликовано в альманахе «Гриф» (М., 1903). Включено в сборник «Золото в Лазури» (М., 1904).
В жизни загубленной образ возлюбленной —
Вечности, с ясной улыбкой на милых устах.
(Андрей Белый. Стихотворения и поэмы. М.; Л., 1966. С. 83). — 305.
519
Из стихотворения А. А. Фета «Сегодня день твой просветленья», написанного 19 июня 1887 г. См.: Фет А. А. Вечерние огни. М., 1971. С. 290. — 305.
520
Из стихотворения Л. Блока «Брожу в стенах монастыря...» от 11 июня 1902 г. См.: Блок А. Собр. соч. в восьми томах. Т. 1. М.; Л., 1960. С. 198. — 305.