Страница 192 из 252
199
См. у Бобынина («‹І›из. — мат. науки», тт. IX, X; «Исследования по истории математики»).
200
Здесь опечатка, следует: Физико–математические науки в их настоящем и прошедшем. Т. 2. Отдел научных статей. № 3. 1887. С. 205. — 92.
201
Альсид ДОрбипьи (1802—1857)—французский путешественник и палеонтолог, исследователь Южной Америки. — 92.
202
Чикитосы умеют считать только до единицы (тома), имея для дальнейшего только отношения сравнения (франц.) {D'Orbigny А. L’homme americain. V. 2. Paris, 1839. P. 163). — 92.
203
Карл Фридрих Марциус (1798—1868) и Иоганн Баптист Спике — немецкие путешественники. См.: Martius К. Г., Spix J. В. Reise ill Brasitien. Munchen, 1823. Bd 1. S. 387. —92.
204
Генрих Лихтенштейн (1780—1857) —немецкий путешественник и зоолог. См.: Lichtenstein 11. Reisen in sudlichen Africa in den Jahren 1803, 1804, 1805 und 1806. Bd 2. 1812. S. 610. — 92.
205
Эдуар Тэйлор (1832—1917) —английский этнограф, автор «Первобытной культуры» (1871), глава «Искусство счисления» которой посвящена числам и счету. — 92.
206
что и требовалось доказать (лат.). — 93.
207
Вероятно, описка: вместо Фенелон следует читать Фонтенель. Франсуа Муаньо (1804—1884) —французский математик и теолог, последователь О. Коши. Упоминаемое доказательство содержится в его работе «Impossibility du nombre actuellement infini; la science dans ses rapports avec la foi». Paris: Gauthier Villars, 1884. См.: Муаньо Ф. О невозможности в действительности бесконечно большого числа. Древность человеческого рода. Наука в соотношении с верой//Коши О. Л. Семь лекций общей физики… СПб., 1872. С. 59—82. Гиацинт Зигмунд Гердиль (правильнее — Жердиль) (1718—1802)—философ, теолог. Речь идет о его работах: Gerdil С. S. Essai d’une demonstration mathematique contre I’existence cternelle de la matiere et du mouvement infini…//Opere edite et inedite. Rome, 1806. V. 4. P. 261; M<5moire de Pinfini absolu consid<5r£ dans la grandeur//ibid., 1807. V. 5. P. 1. — 93.
208
Степан Петрович Крашенинников (1711 —1755) — русский путешественник, исследователь Камчатки, автор известного труда «Описание земли Камчатки» (1756; современное издание: М.; Л., 1949). — 93.
209
Бобынин В. В. Лекции истории математики. С. 34 (см. прим. 51). — 93.
210
В. В. Бобынин. «Очерки истории развития физико–математических знаний η России». «Очерк третий» (Физико–математичес. науки в их наст, и прошл. Т. I. [Отд. I.] № 3. 1885, р. 227–229).
211
Древнеиндийским сборник законов и предписаний, следующих догматам брахманизма. См.: Законы Ману. М., 1960. — 95.
212
Здесь и гораздо подробнее ниже, в конце статьи, П. А. Флоренский касается вопроса о связи национального характера и типа мышления. Вопрос этот интересовал многих в XIX и в начале XX в., среди прочих в Германии — Ф. Клейна (см. его «Лекции о развитии математики в XIX столетии». М., 1889), О. Шпенглера и др.; в России — В. С. Соловьёва, Н. Я. Данилевского. — 95.
213
Хрисан ф. «Религии древнего мира» Т. I, стр. 415.
214
Имеется в виду «Псаммит» (от греч. yxx/iftos — песок) Архимеда. См.: Архимед. Соч. М., 1962. С. 358—367, 598—603. — 96.
215
Источник установить не удалось. — 96.
216
Тут сразу вспоминаются тысячерукие боги индуизма. — 96.
217
См. прим. П. А. Флоренского на с. 93 наст. тома. — 96.
218
См. прим. 16 к с. 74. — 96.
219
Учение о множествах, учение о многообразиях (нем.). — 96.
220
Мы не приводим в настоящей статье литературных указаний, т. к. это заняло бы слишком много места. Значительную часть литературы можно найти в Encyclopadie der Math. Wissenschaften (статья ЅсһӧпПісѕѕ'а: Mengenlchre). издаваемой Бургардтом, и в Bibliotheca Math., кажется, за 1897 г.
221
Schoenflies А. Mengenlehre//Encykiopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Bd 1. Th. 1. Leipzig, 1898—1904. Vivanti G. Lista bibliografica della teoiia degli aggregati 1893—1899//Biblioteca mathematica. Ser. 3. 1900. Bd 1. S. 160—165. —97.
222
множество, многообразие (нем.), множество (франц.). — 97.
223
Блез Паскаль (1623—1662)—французский математик, философ и писатель. См.: Pascal В. De I’esprit gometrique et de Tart de persuader//CEuvres completes. Paris: Galllmard, 1954. P. 196. — 97.
224
Beitrage zur Begriindung der tranafjnitcn Mengenlchre von G. Cantor, Math. Annalen, Bd. 46, 1895, p.481.
225
См.: Кантор Г. Труды… С. 173—245. — 97.
226
Теперь говорят «подмножество» в точном соответствии с немецким оригиналом. — 98.
227
сущность (нем.). — 98.
228
Простое перечисление (лат.). — 98.
229
Acta Mathematica, 1883; 2; 4 о. 361. G. Cantor. Sur les ensembles infinis ct lindaircs de points. III.
230
См.: Кантор Г. Труды… С. 40—140, где содержится русский перевод первоначального немецкого варианта (Math. Апиаіеп, 1879—1883) этой работы. — 99.
231
См. прим. 20 к с. 75. — 99.
232
E. Borcl. Lcqons sur la theorie des fonctions, [Paris: Gauthier — Villars, 1898], p. 2.
233
это рассуждение… мы находим весьма интересным, но в то же время довольно трудным для понимания (франц.). — 99.
234
Теперь говорят «упорядоченность». — 100.
235
раньше и потом по порядку (греч.). — 100.
236
упорядоченный (нем.). — 101.
237
Такие множества называются n–кратно упорядоченными. См.: Кантор Г. Труды… С. 256—258. — 101.
238
Это не совсем верно. Цветность точки сама определяется тремя упорядоченными признаками. Этот и другие приводимые здесь примеры заимствованы у Кантора (см.: Кантор Г. Труды… С. 306—308). — 101.
239
Жюль Таннери (1848—1910), французский математик, основные работы которого относятся к теории функций, был одним из первых пропагандистов теоретико–множественного направления. — 102.
240
J. Tannery. Dc ГіпГіпіс mall^matique. Revue gcndralc des Sciences purcs ct appliquccs. Т. ѴІІЇ, 1897, pp. 129–140.
241
G. Canlor. Miltheilungen zur Lehre vom Transfinilen, VIII. Zcitschrift f. Philosophic und philosophische Krilik. 1889. Bd. 91.
242
т. е. бесконечных. — 103.
243
Тут речь идет только об установлении формального соответствия между тонами и цветами; вопрос же о реальном сродстве тех и других, основывающемся на внутренней связи их, остается в стороне.
244
Или треугольника Паскаля. Этот и другие примеры заимствованы у Кантора (см. Кантор Г. Труды… С. 289—299). — 104.
245
фактически (лат.). Эта конструкция принадлежит Галилею.
246
Теперь говорят «счетных». — 105.
247
Единое в разном… единое, внутренне способное ко многому (лат.). — 107.
248
Либераторе Моттео (1810—1892) — итальянский философ–неотомист. См. подробнее: Кантор Г. Труды… С. 298. — 107.
249
G. Cantor. Mitthcilungcn etc. Zeitschrift f. Phil. Bd. 92.
250
См.: Кантор Г. Труды… С. 268—324. — 107.
251
В русской литературе употребляют термин «кардинальное число». — 108.
252
Math. Annalen, Bd.46, Ѕ. 481.
253
См.: Кантор Г. Труды… С. 173. — 108.
254
противоречие в определении (лат.). — 110.
255
См. прим. 44 к с. 88. — 111.
256
боязнь бесконечности (лат.). — 111.
257
Math. Лппаісп, Bd. 46, Bd. 49
258
См.: Кантор Г. Труды… С. 173—245. — 111.
259
Zeitschrift Г. Phil. Bd. 91, Bd. 92.
260
Там же. С. 302. — 112.
261
целое больше своей части (лат.). — 113.
262
целое… часть (лат.). — 113.
263
См.: Кантор Г. Труды… С. 302—303. — 113.
264
Zeitschrift… Bd. 91, p. 84
265
Там же. С. 269. — 113.
266
ближайший род (лат.) — ближайший более широкий класс предметов, в который в качестве вида входят рассматриваемые предметы (см.: Кантор Г. Труды… С. 269). — 114.
267
Герман Шуберт (1848—1911) — немецкий математик; основные работы относятся к геометрии. — 114.
268
соединение, объединение (нем.). — 114.
269
Β дальнейшем развитии этих идей имеется одна теорема, остающаяся до сих пор не доказанной. Впрочем, если бы она и была неверной, то от этого каких‑нибудь существенных изменений не внесется, и доказательство ее имеет скорее специальный интерес. По–видимому, все говорит, что она верна, а сам Кантор уверен в ней вполне. Множество подобных же случаев, оправдавших его проникновение, заставляют и тут надеяться на благоприятный результат.
270
По–видимому, имеется в виду континуум–гипотеза. Во вводимых ниже обозначениях она выглядит так: 2No N. Невыводимость этого утверждения из стандартных аксиом теории множеств показана 11. Дж. Коэном в 1963 г. См.: Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум- гипотеза. М., 1969. — 115.